9:2a und 
gente der 
o sind die 
ten Grade, 
man nach 
ene gehen, 
g genügen 
Gleichung 
;uerst alle 
4 — 2)ten 
Up, Un—1, 
man 
ene Func- 
$8 5. 
Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 
Hieraus erhält man in Rücksicht auf 9. 
Nun + (2»—1)u,— + ("—9) u,—9 4 ... — M — o w= 0, 
ox oy 
und nach Division mit z 
3. p == #%, + 9 — Û, 
worin e die Function (z — 1)ten Grades bezeichnet 
9 = «(e — 1) #,—1 + (4 — 9) 443 +... — LE = > x 
Wir wollen nun zeigen, welche geometrische Bedeutung es hat, wenn die 
Gleichungen zweier algebraischen Curven in Bezug auf die Glieder höchsten 
Grades übereinstimmen. 
Ziehen wir durch den Nullpunkt Parallelen y — 7x zu den Asymptoten der 
Curve Z(x, y) — 0, so treffen dieselben die Curve in einem unendlich fernen 
Punkte. Wir erhalten daher die zugehörigen Werthe des Richtungscoefficienten /, 
wenn wir y in der Gleichung der Curve durch £x ersetzen, dann diese Gleichung 
durch x" dividiren und nachher zur Grenze für ein unendliches x übergehen. 
Durch die Substitution y — 7x erháült z, in allen Gliedern den Faktor x", z,.4 
den Faktor x#-1, . . . ; es ergiebt sich somit 
F(x, tx) = x^ (uu) + x" (en) 4- x*-2 (u,—3) 4- ..., 
worin (#,), (#n—1), (4,—2). . Functionen von 7 sind vom Grade x, (zt — 1), 
(2—2)..., welche aus z,, 4,4 ..- hervorgehen, wenn man x durch 1 und y 
durch 7 ersetzt. Entfernt man x^ durch Division, so entsteht 
1 1 
(@ 7) + E (2, -1) —+ 2x (44„—9) +—...=0. 
Wird x unendlich gross, so bleibt nur übrig 
(us) = 0, 
Diese Gleichung liefert x Werthe für Wir erhalten hieraus den Satz: 
Eine algebraische Curve zten Grades hat z (reale oder complexe) Asymp- 
toten; die Tangenten der Winkel, welche sie mit der Abscissenachse 
einschliessen, sind die Wurzeln der Gleichung (z,) — 0. 
Ferner folgt: Wenn die Gleichungen zweier algebraischen Curven 
in Bezug auf die Glieder hóchsten Grades übereinstimmen, so haben 
sie parallele Asymptoten. Oder: Zwei Curven zten Grades, deren 
Gleichungen in Bezug auf die Glieder hóchsten Grades überein- 
stimmen, haben z unendlich ferne Schnittpunkte. 
Die z unendlich fernen Schnittpunkte der Curven Z7 und 4 sind nun im 
Allgemeinen nicht Punkte, deren Tangenten durch I| gehen; es bleiben daher 
als solche Punkte auf #, deren Tangenten durch II gehen, nur die im Endlichen 
liegenden Schnittpunkte von F und ® übrig. Da nun zwei Curven zten Grades 
1? Schnittpunkte haben, so erhalten wir den Satz: Durch einen Punkt der 
Ebene gehen im Allgemeinen z? — z — z (n —1) Tangenten einer 
Curve zter Ordnung. Diese Zahl kann sich, wie wir weiter sehen werden, 
bei besonderen Lagen des Punktes II, sowie bei besonderer Beschaffenheit der 
Curve vermindern. 
Bildet man die Differenz # — ®, so erhält man 
1 oF "Fa 
# — 9 —= = Ca + 24,9 + ... + Ax + en 
Die rechte Seite dieser Identitit ist eine Function 4 vom (» — 1)ten Grade. 
Alle (endlich fernen) Schnittpunkte von # und ® annulliren auch ¢. Wir haben