416 Differentialrechnung: 
  
daher den Satz: Die Punkte einer Curve zter Ordnung, deren Tangenten 
durch einen gegebenen Punkt gehen, liegen auf einer Curve (z — 1)ter 
Ordnung. 
  
Um die Normalen der Curve Z(x, y) — 0 zu erhalten, die durch II gehen, 
haben wir die Curvenpunkte aufzusuchen, die der Gleichung genügen 
OF. ; oF : 
ac m0 0, 
Óy 0x 
Diese Gleichung ist vom zten Grade; sie lehrt: Es giebt z? Normalen 
einer Curve zter Ordnung, die durch einen gegebenen Punkt Il gehen; 
ihre Fusspunkte auf der Curve liegen auf einer vom Punkte ll ab. 
hàángigen Curve zter Ordnung. 
9. Die Coordinaten z, v der Curventangente im Punkte P folgen aus der 
Gleichung 
oF F 
— (E— x) + zz nm — 7 = 0. 
jo meae enun 
zu 
CH (oF CH oF (oF a 
1. Wu (= Wu uy], op mm ie lee N, 
cx ox gy cy ox cy 
Die Gleichung der Curve in Liniencoordinaten, d. 1. die Bedingungs- 
gleichung dafür, dass # und » Coordinaten einer Tangente der Curve 7-0 
sind, ist das Resultat der Elimination von x und ÿ+ aus den drei 
Gleichungen 
oF {OF oF oF (0F 2F \ = 
= rl mu o err: —, V» 
oy 0x 0y 
= 
it 
Ist ¢(#, v) — 0 die Gleichung einer Curve ;;ter Klasse, also @ eine Function 
mten Grades, so erhält man die Coordinaten der Tangenten von ¢ = 0, die 
durch den Punkt § = gehen, als die Losungen der beiden Gleichungen 
ow, 9) = 0, tu + nv — 1 =D, 
deren zweite die Gleichung des Punktes Il ist. Die eine dieser Gleichungen ist 
vom ten Grade, die andere ist linear; daher folgt: Durch jeden Punkt der 
Ebene gehen z Tangenten einer Curve mter Klasse. Da nun durch jeden 
Punkt der Ebene im Allgemeinen z (z — 1) Tangenten einer Curve zter Ordnung 
gehen, so folgt: Eine Curve zter Ordnung ist im Allgemeinen von der 
4(n—1) Klasse. Nur für z — 2 1st 2 (z—1) — »; die Curven 3ter, 4ter, Ster 
Ordnung sind im Allgemeinen 6ter, 12ter, 20ter Klasse u. w. s. 
ox 
10. Die Curve, welche von den Normalen einer gegebenen Curve umhüllt 
wird, heisst die Evolute dieser Curve. Die Coordinaten der Normalen im Curven- 
punkte P ergeben sich aus der Gleichung der Normalen zu 
oF (oF CP et CK foF oF 
1. # mm tig ing kL Tg em ee ie ES) |. 
oy oy 0X ox ON 6X 
Die Gleichung der Evolute in Liniencoordinaten ergiebt sich 
also, wenn man aus der Curvengleichung #(x, y) = 0 und aus den 
Gleichungen 1. die Coordinaten x, y eliminirt. Da durch jeden Punkt 
der Ebene z? Normalen einer algebraischen Curve zter Ordnung gehen, so folgt: 
Die Evolute einer Curve zter Ordnung ist im Allgemeinen von der 
Klasse z?. 
11. Als Beispiele wáhlen wir die Evolute der Ellipse und der gemeinen 
Cycloide. 
     
   
  
  
      
     
   
    
    
      
   
    
    
  
   
   
    
    
  
    
   
    
    
  
    
   
    
   
    
   
   
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