Tangenten 
re (a — 1)ter 
ch IT gehen, 
n 
Normalen 
«t IH gehen; 
1kte Il ab- 
gen aus der 
Bedingungs- 
urve # =—0 
den drei 
| J) E 
ine Function 
9 == 0, die 
zen 
ichungen ist 
Punkt der 
durch jeden 
ter Ordnung 
in von der 
, 4dter, 5ter 
rve umhüllt 
| im Curven- 
giebt. sich 
d aus den 
eden Punkt 
en, so folgt: 
n von der 
gemeinen 
8 5. 
Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 
Aus der Ellipsengleichung 62? x2 + a2y2 — 925? — ( folgt 
oF oF oF oF 
wm AE em ay, DT ott a em (gh ip. 
A. ix, 2y 9e? y, 2y X E (a 5?)x y 
; a? 62? 
Daher ist “uw = =”, 9 = — 0 
| C“X 67 y 
| x a y b 
| Hieraus folgt sz y mud 
Quadrirt man diese Werthe und addirt, so erhält man schliesslich die 
Evolutengleichung in der Form 
a? 63 
s e emu. 
u? 2? 
Beseitigt man die Nenner, so erkennt man, dass sie vom vierten Grade ist, 
in Uebereinstimmung mit No. 10. 
Für die Cycloide haben wir die Formeln im vorigen Abschnitte so umzu- 
gestalten, dass sie dem Falle entsprechen, wenn x und y als Functionen einer 
Variabeln 7 gegeben sind. Nehmen wir die Normalengleichung zunáüchst in der 
79 wx 
Form No. 2, 4 und ersetzen y' durch n : T so erhalten wir 
dx dy 
2:6 cc nom. 
Es ist daher 
awd [dn dy _ 2y (dx dy 
"m HiUutte]: nm log) 
und man erhdlt somit # und v durch # ausgedriickt. Die Evolutengleichung ist 
die Resultante dieser Gleichungen in Bezug auf # 
Aus den Formeln in No. 6 ergiebt sich fiir die Cycloide 
dx dy 
  
2; * Eis dt = Xx) + aty —xy = aty, 
und daher 
1 sin à 1 
1. Mum a = : 
at at(l — cos t) at tang Lt 
Die Gleichung der Evolute folgt hieraus zu 
1 u 
2. U — VA >= = 0, oder Rau -arctone— = |. 
> au > 2 
Aus der Gleichung der Cycloidentangente 
d ax, 
es 
folgen die Coordinaten der Tangente 
dx fdv dx 
dt dt dt 
d dy dx 
Nem ?(2.-25). 
= a?(tsint — sin? t — 1 + Qcos 8 — cos?t), 
| 
dt dt dt 
Da nun 
dy dx 
ara 
— a?(t sint — 9 -- 2cos t), 
so ergiebt sich 
    
sin t cost — 1 ; es a d rey 
u — oil’ U = — 2 M = tsint — 2 + Qcos: 
Verschiebt man die Coordinatenachsen und wihlt den Scheitel 4 zum neuen 
Nullpunkte, so erhdlt man die Coordinaten U und ¥ der Tangente im neuen 
Systeme aus z und 2 durch die Formeln (Anal. Geom. der Ebene § 9, No. 6, 3) 
ScuLoEMILCH, Handbuch der Mathematik.