430 Differentialrechnung.
11. X, 44 + Mag + Rata = 0,
xy (uy + dug) + x5 (49 + dug) + xX3 (45 + du,) = 0,
aus denen durch Subtraction hervorgeht
12. x, du) + xadtég + x, du, = 0.
Eliminirt man x,, X,, x, aus 10., 11, 12, so erhält man die gesuchte
Gleichung zunächst in der Form
|
Hy “UV U |
| A U, Us | = 0,
| du, dus du; |
oder nach den Elementen der ersten Zeile entwickelt
| | | | |
| 2 Ws | 4. u | u 4;
| ve y jan, | 5 qu + 15 2 Lu,
| du, dus} | dus: du; | - * du, dual -—
Nun gelten die beiden Gleichungen
Ey uy + Fou, A Fru; =0, Ps LS
F, du, + Fa du, + Ha dt, = 0, ^^ n Ou
deren erste mit # = 0 identisch ist, während die andere durch Differentiation
dieser Gleichung entsteht. Hieraus erhält man
Mo M3 | : | US 4, |.
du, dul (du. du, i’
Aus 13. und 14. folgt die gesuchte Gleichung des Tangentialpunktes
P= Fy, uy + Fa "Ua + Fa Mg = O.
13.
1 CHF
Ur Ua
|
du, dus |
|
14. Bln By
8 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Fláchen; Tangente und
Normalebene von Raumcurven; Gerade auf abwickelbaren Fláchen.
1. Legt man eine Gerade durch einen Punkt 2 der Fliche f(x, y, 3) = 0,
sowie durch den Punkt P, der Fláche, dessen Coordinaten x + Ax, y + Ay,
z + Az sind, so gilt für die Richtungscosinus dieser Geraden (d.i. für die Cosi
nus ihrer Winkel mit den Coordinatenachsen) die Proportion
1. cos® : cost : cosy = Ax : Ay: Az.
Convergiren Ax und Ay, und damit auch im Allgemeinen Az gegen den
Grenzwerth Null, so wird die Gerade zu einer Tangente der Fläche. Für
die Richtungscosinus einer Tangente ist also
2. cose : cosd : cosy — dx : dy: da.
Durch Differentiation der Flächengleichung folgt
of 0j of
3. — dx op e Iv + of da — 0.
ox oy 0%
Führt man hier aus 2. für die Differentiale dx, dy, dz die proportionalen
Werthe cose, cos, cosy ein, so erhilt man
0) 0 0 ;
4. of ns zi of ost = of y = 0.
0x cy 02 c
Die Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen, und deren Richtungs-
cosinus durch eine Gleichung verbunden sind (ausser der selbstverstindlichen
Gleichung cos? dq + cos? + cos?y = 1), sind die Mantellinien einer Kegelfläche,
deren Spitze der gegebene Punkt ist. Die Gleichung dieser Kegelfläche wird
erhalten, wenn man in 4. die Coordinaten & mn, { eines Punkts einer dieser Ge-
raden (d. i. also eines Punkts der von den Geraden beschriebenen Kegelfliche)
durch die Formeln einfiihrt
5.
wobei
Führ
die Gleic
Dies:
die ein
einer E
Tangen
Die
Punkte
6.
Die
der Fläch
7.
wobei
Die |
Ist d
so kann |
in die Fc
Dahe
9.
die Gleic
10.
ihre Winl
il.
Die