hengleichung 
en. 
welche von 
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der dadurch, 
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| und seine 
Ch. Es sei 
y seien die 
Mantellinie, 
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en, entlang 
ser Schnitt- 
aten E, n, C 
= 0. 
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Gleichungen 
  
  
§ 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 433 
ut y—-n s—q(q 
tosa wel resy 
of 0f of 
(f €) 2 0, + c0su + == cosh Be COS — 0. 
Vi » N, C) , OF ON Di DE Ï 
Wir bestimmen nun die Gleichung der Tangentenebene eines Cylinders, 
und gehen dabei von Gleichung 2. aus; die partialen Differentialquotienten von / 
ergeben sich wie folgt: 
dons 160 à end WE da 
of 
of 
ox La ot du DE oy On dy om 
DIG, y, 2) of 1) det À 07 (En) dy Casa Of cosB Of 
0% a DE dz 07 da cos 8t dos y By 
Die Gleichung der Tangentenebene ist daher, wenn die laufenden 
Coordinaten mit r, vy, 3 bezeichnet werden 
of of cosa Of cos OF. ; 
8 Tw (0 — a) A ayy) —|-——+ + + — . ja — = 035. 
0€ C ) On o n cosy 08 cosy On à ) ) 
Sind e, j, ; die Winkel, welche die Normale von 7 mit den Achsen ein- 
schliesst, so ist 
ef oF Cosy. Bf cost 8f 
éos® : cos}: cosy = sp i07-3 — {—. ZL 4. °F YY) 
; 06 On cosy o£ cosy On 
Hieraus erkennt man, dass 
^2c ^ne d^ coy rs A are 
cos cosa. + cos cosB + cosy cosy = 0. 
Dies zeigt, dass die Ebene 7'die Richtung a, 8, y enthält; wir erhalten 
somit den Satz: Jede Tangentenebene eines Cylinders berührt den 
Cylinder längs einer Mantellinie, so dass jeder Punkt dieser Mantel- 
linie ein Berührungspunkt ist. 
3. Unter einer Kegelfläche versteht man eine Fläche, welche von einer 
Geraden beschrieben wird, die durch einen festen Punkt geht; dieser Punkt heisst 
die Spitze des Kegels. Man kann die Bewegung der Geraden in derselben 
Weise näher definiren, wie bei der Erzeugung des Cylinders. 
Ist /($ 7) = 0 die Gleichung der Horizontalspur des Kegels (vorausgesetzt, 
dass die Spitze S nicht auf der X Y-Ebene liegt) und sind a, à, c die Coordinaten 
der Spitze, so sind die Gleichungen der Geraden ILS 
  
  
  
X — a y—0 Z—¢ 
1. — = 3 7 
a— b— C | 
jeder dieser Quotienten ist dem Verhält- | p/ 
niss PS : SII gleich. Aus den Gleichungen | / | 
l. ergiebt sich | z | 
| sut 
p 0) e(y — 9) |t gr 
gfe ———I p. y eB | A 
Z—C Z—€ | | 
und hieraus folgt weiter DA d | 
i az — ex óz — cy An | | 
= — n= —"-= gd | > 
BC IE | Bf A | X 
Setzt man diese Werthe in die ai [7 
Gleichung der Horizontalspur ein, so Y “TX lc [IN 
erhält man die Gleichung der Kegelfläche > p 
az — cx bz — cy (M. 485.) 
2. y —, —=) = 0. 
Z—C Zz—C 
*) In den Differentialquotienten von /(E, 1) sind &, 4. durch die Werthe 1. zu ersetzen. 
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SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 28