Differentialrechnung. 
Verlegt man den Nullpunkt in die Kegelspitze, und nimmt die neuen Achsen 
den alten parallel, so gelten für die neuen Coordinaten x, », 3 die Formeln 
X — az, y—h=v, 2—6—3, 
az —cx=a3— cr, bz—cy=203—cy. 
Die Kegelgleichung wird daher 
ay— cx by—c 
3. ras, 3 2) ze. 
8 à 
Hier ist nun f(x + a, y+ 4) =0 die Gleichung des Querschnitts der 
Kegelfliche mit einer Ebene, die parallel zur .X Y-Ebene ist und von ihr den 
Abstand z — — c hat. Setzt man a = à = 0, und vertauscht (— c) gegen (+ ¢), 
so wird die Kegelgleichung einfacher 
4 AS, 2) E 
  
z zZ 
Ist f£ eine algebraische Function zten Grades, so wird die Kegelgleichung 3. 
nach Beseitigung der Nenner eine homogene Gleichung zten Grades. 
Wird verlangt, dass die Mantellinien des Kegels die Schnittlinie. zweier 
Flichen /(5 9» 02-0,  (, » Q0 treffen, so hat man $ $3 & aus den 
Gleichungen zu eliminiren 
x—a y—ó6 Z—ct = 
= ry JG Tj 4) = 0, FE, T) 4) = 0. 
> 
Verlangt man den Kegel, dessen Mantellinien die Fläche /f(E, », ©) berühren, 
so gelten für die Coordinaten eines Punkts einer Mantellinie und ihres Berührungs- 
punkts zunächst wieder die Gleichungen 
x—a y— 0b Zz—C 
5. == = ) 76, TJ; 4) = 0. 
a— ö—n c—Ç 
Die Cosinus der Winkel, welche die Gerade ILS mit den Achsen bildet, 
sind proportional den Differenzen a — E, à — mn, c — 6; ist ILS Tangente der 
Flüche f im Punkte II, so gilt daher die Gleichung 
of of of 
ar (@ —& =~ (b— 1 77 (e— 5) — 0. 
oc —9 2, 0—0) + sz 6— 0 
Durch Elimination von & wx, ¢ aus 5. und 6. ergiebt sich die gesuchte Kegel- 
  
  
6. 
C 
gleichung. 
Ist f eine algebraische Function zten Grades, so ist die Gleichung 6. eben- 
falls vom z-ten Grade; sie kann aber durch eine Function (z — 1)ten Grades 
ersetzt werden. Ordnet man nämlich die Function / nach dem Grade der ein- 
zelnen Glieder, so erscheint / als Summe von homogenen Functionen vom Grade 
985 n—1),n—2)..... 
4 mm Un, + Un—1 + Una + 
Nach dem EuLER’schen Satze ist nun 
27 4 zi of 0 IL + = nu, + (a — Ven + (A — Du, 3 + 
05 On oc ; 
Setzt man dies in 6. ein, wechselt die Zeichen und dividirt durch z, so 
erhält man 
1 à 5 2f 5 
KR = 4 + lo — 1)#,—1 + (7 — 2)U,-93 + +12 — Mf — of 4 — of |- 
2 05 On 06 
Die Differenz f —  ergiebt sich daher zu 
f— F= ty pat... + (4 q y d: of € 
: N 7 n \ 0% on 06 
wo nun o,-, eine Function (7 — 1)ten Grades ist. Alle nicht unendlich fernen 
D5; - 
v 
  
== Pp] 
      
  
  
    
    
   
     
    
   
    
  
  
  
   
   
  
  
  
   
    
  
   
  
  
   
   
  
  
  
   
   
   
  
  
  
  
    
  
  
   
    
    
Punkte, 
die Gle 
Ordnur 
auf ein 
Um 
gegeben! 
Tangent 
der Pun 
Fläche 7 
auf der 
schnitten 
Punkte « 
dem Pro 
Die 
der Klas 
coordina 
meinen 
Klassenz 
sind im 
Von 
efe y» 
03 
Für 
Aus 
Dies 
entlang 
Da | 
geht, so 
Ebenen 1 
Mantellini 
convergirt 
zugleich 
*) Hic