32 Analytische Geometrie. 
Durchläuft man den Perimeter eines Dreiecks ABC so, dass man von À 
über # nach C geht, so hat man die Fläche des Dreiecks entweder zur Linken 
oder zur Rechten. Im ersten Falle soll die Fläche des Dreiecks ABC als 
positiv, im letzten als negativ gerechnet werden. 
Hieraus folgt unmittelbar, dass die Flichen ABC BCA = CARB; sowie 
dass PAC=ACB = CBA; und dass ABC — BAC. 
Sind AB, CD, EF, .... Strecken auf derselben Geraden, und ist % der 
Abstand dieser Geraden von einem Punkte O, so haben die Produkte 4 P. Z, 
CD); EF-7, . . ~. gliche oder unsleiche Zeichen, je. nachdem 47, 
CD, EF . . . gleiche Zeichen haben oder nicht; unter derselben Bedingung 
haben aber auch die Dreiecksflichen OAB, OCD, OEF ... die mit 
den halben Produkten AB-h, CD-A, EF-A...rücksichtlich des absoluten 
Werthes übereinstimmen, gleiche Zeichen oder nicht. Wir sehen daher: Die 
Haülften der Produkte 42.4, CD-A, EF-5^... sind der Reihe nach alle 
gleich oder alle entgegengesetzt gleich den Dreiecken O47, O ED, OC u. s. w. 
Für Punkte einer Geraden gilt die Beziehung 
AB + BC+ CA=0. 
Multiplicirt man links mit dem Abstande Z eines Punktes O von der Geraden 
AB, so entsteht 
AB-h-4- BC-Àh-- CA- A — 0. 
Mit Rücksicht auf das so eben Entwickelte folgt hieraus: 
t CAB + OBC+ 0CA=0, 
woraus die weiteren Beziehungen hervorgehen: 
2. O48 + OBC=04C 
3. OBC-OAC-—OAB. 
6. Setzt man, wie es in den Figuren bisher immer geschehen ist, voraus, 
dass der positive Drehungssinn für Winkel mit dem Drehungssinn übereinstimmt, 
in dem man sich dreht, wenn man den Perimeter A47C einer positiven Flàche 
(immer in der Ordnung 4, 2, C, in welcher die Eckpunkte bei der Bezeichnung 
des Dreiecks sich folgen) durchläuft, und ist ,5, ein Punkt der Abscissenachse, 
P ein belebiger Punkt der Ebene, so überzeugt man sich leicht, dass das Drei- 
eck OS, positiv oder negativ ist, je nachdem die Strecken OS, und P'P 
gleiche oder ungleiche Zeichen haben. Daher ist auch rücksichtlich des Vor- 
zeichens: 
1. 2:08, P=0S, PP 
Nun ist nach No. 5, 3, wenn S, die Spur von 7,2, ist, 
OL.P,=0S8S,P,—05, 7; 
also nach 1. 
€ >. — Y D1 pD Cr PD W a] 
9. 9.OP P EEOS DP, —OSL P'P OS; 34» 
wenn man die Coordinaten von P, und J^, wie immer mit x, y,, x,y, be- 
zeichnet. 
Ferner ist für jede Lage der Punkte P, und 7 
5 1 2 
Fu. DplQ DE DE DD De 
PS 1 BS, =P Py PB; 
oder, da PS 0S OA e QS, m. 
PS == OS, _ OP; = OS, — X 9) 
PLE ky, Llyn, so folgt: 
(OS, —x,;) : (054 — x2) x y, : o 
: X4 yo — X9 y 
Daher 3. 05, = eia mad 
Va 7 V1 
      
  
  
    
  
  
  
  
  
      
   
      
   
   
   
   
  
  
  
   
   
  
    
  
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
    
    
  
   
  
   
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