Differentialrechnung. 
1. T=du-x+dv-y+dw-z=0, 
fiir die Richtungswinkel ihrer Normalen hat man 
cosa : cosB : cosy = du : du : dw. 
Auf einer Tangentialebene 7' liegen unendlich viele Tangenten der Fläche f; 
dieselben werden auf 7' durch alle die unzähligen Ebenen T ausgeschnitten, 
die man erhält, wenn man die Verhältnisse du: dv: dw in jeder mit der 
Gleichung der Fläche verträglichen Weise abändert, mithin so, dass sie der 
Gleichung genügen, die sich durch Differentiation von f ergiebt 
  
0 0 0 
2. o7 : du + of da + ef dnas 0. 
eu ov ow 
Vergleicht man 1. und 2., so erkennt man, dass jede Ebene T die Gerade q 
enthált, deren Punkte der Proportion genügen 
Of 07 27 
ou'ov’ ow’ 
Die Ebenen T bilden daher ein Biischel, dessen Triger durch den Null- 
punkt geht und durch 3. bestimmt ist. Hieraus folgt: Alle Tangenten der 
Flàche /(w, v, w) = 0, die auf einer Tangentialebene liegen, gehen 
durch einen Punkt, nämlich durch den Schnittpunkt der Geraden y mit der 
Ebene 7. Dieser Punkt ist der Berührungspunkt der Ebene 7 und der 
Fläche f. 
Sind x, y, z die Coordinaten desselben und u, v, w die Coordinaten irgend 
9 
2. Xi1yi2 — 
einer durch ihn gehenden Ebene, so hat man die Gleichungen 
AU yb 4-21] — 1] = 0, 
KU A v9+ 20 — | = 0. 
Aus ihnen folgt 
x (u — #) + y (0 — 7) + 3 (w—w) = 0. 
In Rücksicht auf 3. folgt hieraus die Gleichung des Berührungspunktes 
der Ebene 7 
ef of 
4. E U) + BO (v — 2) + 
2 
m (WM — W) = 0. 
€ Ü 
Ist die Gleichung der Fläche in der Form gegeben 
wo f, 7), 
so erhält man die Gleichung des Berührungspunktes in der Form 
ow 
5. P= 
ou 
; ow 
(u — #) + àv (9 — 7) — (m — w) = 0. 
6. Das Ebenengebilde, welches von Ebenenbüscheln gebildet wird, deren 
Träger auf einer Ebene 4 liegen und eine Curve C dieser Ebene umhüllen, 
heisst eine Grenzflüche. Unter den Ebenengebilden nehmen die Grenzflàchen 
dieselbe Stellung ein, wie unter den Punktgebilden die Kegeiflichen. Sind o, en 
die Coordinaten der Ebene 4 und ist 
l. YQ P): 0 
die Gleichung der Horizontalprojection von C, so gehórt nach der Definition 
jede Ebene 7'zur Grenzflüche, welche durch eine Schnittlinie der Ebene A mit 
einer Verticalebene T geht, die der Gleichung 1. genügt. Die Coordinaten U, V 
dieser Ebene folgen aus den Coordinaten von A und 7' durch die Formeln 
foe ltl oo a tery 
Au A+ Ap 
Aus der letzten folgt 
daher ist 
  
      
  
  
   
    
  
  
   
    
   
   
    
   
   
    
   
    
    
  
    
    
    
      
    
   
     
     
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3. 
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