els erfüllen; 
> für Punkt- 
von Regel- 
des Trägers 
iche Ebene 
onen einer 
ten 0w:0u 
7c, 
r Ebene 7' 
E 7) 
und c aus- 
aus 4. die 
nommenen 
oefficienten 
aher: Die 
einen von 
dass jede 
ung P=0 
h. 
P enthält, 
sind auf 
'sprochene 
halten und 
leichungen 
te P, der- 
bildet die 
  
8 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 441 
Gerade PP, mit den Achsen X, Y, Z Winkel deren Cosinus die Verhàáltnisse 
haben Ax:Ay:Az. Convergirt Ax gegen die Grenze Null, so wird PP; zur 
Tangente der Raumcurve im Punkte P 
Sind e, b, y die Richtungswinkel der Tangente, so hat man also 
9. cosm : cosy : cosy — da: dy : da. 
Durch Differentiation der Gleichungen 1. folgt 
0 0 0 
of dx + 27 dy + of 75 — , 
ox y 0% 
oF oF oF 
ox dx + 0y ay == 2 ds =. 
Hieraus erhält man (vergl. $ 4, No. 4) 
(EE LISE CEE EE EE 
0y 08 02. 0y E 0x 09. By 0% 
  
3 dx: dy: da — : 
Nos 0x , 0x Oz 
Die Gleichungen der Tangente sind daher 
  
EE ny C— 3 
4. 0f. OF. 0f A aer OF Of OR TO OH of GR. 
óy Bz Bz By oz Ox Ox dz ox Oy Oy 0x 
Eliminirt man aus 1. und 4. die Coordinaten x, y, z, so erhält man eine 
Gleichung, welche die Coordinaten & n, € erfüllen, wenn II auf einer Tangente 
der Raumcurve liegt; das Eliminationsresultat ist daher die Gleichung der von 
den Tangenten der Raumcurve beschriebenen Fläche. 
Eliminirt man aus 1. einmal z und dann y, so erhält man die Gleichungen 
der Horizontal- und der Verticalprojection der Curve; bringt man dieselben in 
die Form 
y= 40), s= 0), 
dy = e (x)dx, da = Wa) ds. 
Daher werden die Gleichungen der Tangente 
so ist 
"n — y C6 — = 
-— EU d eer " Tp — 
y 2 
5. E— x = 
Die Richtungscosinus sind 
6. cosp=- zy ss, COSY EE pe = — gy esie mn ; 
Vdx2+dy?+dz?’ V dx? +dy2 +de? Vds +dy?+d2? 
Der Ausdruck y/Zx? + dy? + da? ist der Grenzwerth von V (Ax)? 4- (Ay)? -- (Az)? 
und ist daher der Grenzwerth der Sehne PAP, für ein verschwindendes Ax; 
dieser Grenzwerth ist ($ 5, No. 1) das Differential ds des Curvenbogens; man 
hat also 
7. ds? = dx? + dy? + dz?, 
und kann 6. ersetzen durch 
8 dx : dy dz 
: C0S® = —— cosy — — cosy = — . 
2 7; Umm d r= ds 
Die Ebene, welche durch 2 normal zur Curventangente gelegt wird, heisst 
Normalebene der Curve im Punkte 2 Die Gleichung der Normalebene 
ergiebt sich aus 
co$e + (€ — x) + cosi - (n — y) o cosy -(C— 2) — 0, 
wWenn man cose, cosy, cosy durch die proportionalen Werthe dx, dy, dz ersetzt 
N = dx -(E— x) -- dy -(n — y) 4-:da-(£— 2) = 0. 
Sind die Gleichungen der Projectionen gegeben, so hat man 
9. N = (E — x) - y'(n — y) + 2620; 
im Anschluss an die Gleichungen 1. ist