ıss man von À 
der zur Linken 
ecks ABC als 
— CAB; sowie 
und ist AZ der 
odukte À B - À, 
nachdem AB, 
ben Bedingung 
, die mit 
. des absoluten 
en daher: Die 
eihe nach alle 
) OCE.s. w. 
jn der Geraden 
en ist, voraus, 
übereinstimmt, 
ositiven Fläche 
er Bezeichnung 
Abscissenachse, 
dass das Drei- 
0.5, wd PP 
Xlich des Vor- 
- Ji» 
Jp — X9, be- 
   
8 5. 
Die Gleichung ersten Grades in Punkt- und Liniencoordinaten. 23 
Führt man dies in 2. ein, so folgt: 
[9 0 1 
4. 2:07) =x1y,— 239; = (x, y, 1 | 
E Js 1] 
7. Der Ausdruck 
Ux» 4 | 
D-—|x, 51 
[| X» Ya 1 | 
  
hat für die Coordinaten eines jeden Punktes 2 der Ebene einen bestimmten, 
für zwei verschiedene Punkte im Allgemeinen verschiedene Werthe; den Werth 
Null hat er nur für die Punkte der Geraden DP, 
Geht man von einem Punkte der Ebene geradlinig zu einem andern 
Punkte, so kann der Ausdruck DD bei diesem Uebergange sein Zeichen nur dann 
ändern, wenn er für wenigstens einen Punkt des Weges den Werth Null 
hat, also nur dann, wenn der geradlinig zurückgelegte Weg die Gerade P, P, 
schneidet. "Wir schliessen daher: 
Der Ausdruck 2 hat für alle Punkte, die auf derselben Seite Dj P, liegen, 
dasselbe Zeichen, für Punkte auf verschiedenen Seiten entgegengesetzte Zeichen. 
Nun sind aber auch die Dreiecke P, 7, P, für zwei Punkte A4 von gleichen 
oder ungleichen Zeichen, je nachdem die beiden Punkte P, auf derselben Seite 
von J^, P, legen oder nicht. Nehmen wir hinzu, dass der Ausdruck 2 für die 
Coordinaten des Ursprungs den Werth 
0 0, 1 
[^ J; 4 
€9 Ya 1 
  
annimmt, also auch rücksichtlich des Zeichens mit der doppelten Flüche des 
Dreiecks OP, 7, übereinstimmt, so finden wir: Durch die Determinante 
  
  
Xo Jo 1| 
A= | #1 Jy 1 
| X3 J9 1 | 
ist die doppelte Fläche des Dreiecks P, P, P, auch rücksichtlich 
des Vorzeichens ausgedrückt. 
8. Den Winkel 0 zweier Geraden 7|, 7,, der gleich dem Winkel il 
Normalen N, /V, ist, kann man aus den Coefficienten ihrer Gleichungen 
A x +8 y +6 +0, A,x+ B,y+C, =0 
finden. Denn man hat 
Bm UN, w= XN, — XN, =g, 
rer 
  
291» 
und nach No. 2: 
     
4 1 
cos t 
"yar BR 
A, 
203 (po cm LR 
£05 Qo VAs x ES 
mithin : 
A, A, + BB 
La ZA DD 
y4$ -- B?y A$ -- Bj ae TB} 
9. Sind die Geraden parallel, so ist 57 0 — 0, sind sie normal, so ist cos à — 0. 
Die Bedingungen für parallele und normale Lage der beiden Geraden 
Axt By C, — 0 und 4, x 4- B,y 4- C, — 0 
sind daher 
ScHLOEMILCH, Handbuch der Ma hematik, Bd, IL