ıss man von À
der zur Linken
ecks ABC als
— CAB; sowie
und ist AZ der
odukte À B - À,
nachdem AB,
ben Bedingung
, die mit
. des absoluten
en daher: Die
eihe nach alle
) OCE.s. w.
jn der Geraden
en ist, voraus,
übereinstimmt,
ositiven Fläche
er Bezeichnung
Abscissenachse,
dass das Drei-
0.5, wd PP
Xlich des Vor-
- Ji»
Jp — X9, be-
8 5.
Die Gleichung ersten Grades in Punkt- und Liniencoordinaten. 23
Führt man dies in 2. ein, so folgt:
[9 0 1
4. 2:07) =x1y,— 239; = (x, y, 1 |
E Js 1]
7. Der Ausdruck
Ux» 4 |
D-—|x, 51
[| X» Ya 1 |
hat für die Coordinaten eines jeden Punktes 2 der Ebene einen bestimmten,
für zwei verschiedene Punkte im Allgemeinen verschiedene Werthe; den Werth
Null hat er nur für die Punkte der Geraden DP,
Geht man von einem Punkte der Ebene geradlinig zu einem andern
Punkte, so kann der Ausdruck DD bei diesem Uebergange sein Zeichen nur dann
ändern, wenn er für wenigstens einen Punkt des Weges den Werth Null
hat, also nur dann, wenn der geradlinig zurückgelegte Weg die Gerade P, P,
schneidet. "Wir schliessen daher:
Der Ausdruck 2 hat für alle Punkte, die auf derselben Seite Dj P, liegen,
dasselbe Zeichen, für Punkte auf verschiedenen Seiten entgegengesetzte Zeichen.
Nun sind aber auch die Dreiecke P, 7, P, für zwei Punkte A4 von gleichen
oder ungleichen Zeichen, je nachdem die beiden Punkte P, auf derselben Seite
von J^, P, legen oder nicht. Nehmen wir hinzu, dass der Ausdruck 2 für die
Coordinaten des Ursprungs den Werth
0 0, 1
[^ J; 4
€9 Ya 1
annimmt, also auch rücksichtlich des Zeichens mit der doppelten Flüche des
Dreiecks OP, 7, übereinstimmt, so finden wir: Durch die Determinante
Xo Jo 1|
A= | #1 Jy 1
| X3 J9 1 |
ist die doppelte Fläche des Dreiecks P, P, P, auch rücksichtlich
des Vorzeichens ausgedrückt.
8. Den Winkel 0 zweier Geraden 7|, 7,, der gleich dem Winkel il
Normalen N, /V, ist, kann man aus den Coefficienten ihrer Gleichungen
A x +8 y +6 +0, A,x+ B,y+C, =0
finden. Denn man hat
Bm UN, w= XN, — XN, =g,
rer
291»
und nach No. 2:
4 1
cos t
"yar BR
A,
203 (po cm LR
£05 Qo VAs x ES
mithin :
A, A, + BB
La ZA DD
y4$ -- B?y A$ -- Bj ae TB}
9. Sind die Geraden parallel, so ist 57 0 — 0, sind sie normal, so ist cos à — 0.
Die Bedingungen für parallele und normale Lage der beiden Geraden
Axt By C, — 0 und 4, x 4- B,y 4- C, — 0
sind daher
ScHLOEMILCH, Handbuch der Ma hematik, Bd, IL