congruent 
ns erzeugt 
eridian in 
Achse die 
Jormalen 
je durch 
Geraden 
alfläche 
J (y, 2) 
Punkten 
Geraden. 
let man, 
mit den 
schliesst. 
de Male 
sen den 
quotient 
t von y 
erential- 
otienten 
u. S. W., 
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nan hat 
  
  
  
$ 7. Höhere Differentialquotienten. 
Wenn man beide Seiten der Gleichung 
dy = Vix 
differenzirt und dabei dx als constanten Faktor 
ddy) = dy - dx; 
in Folge der Gleichung dy' = J'dx entsteht hieraus 
d(dy) = y'gx*. 
Statt des unbequemen Zeichens d(dy) setzt man das kürzere d?y,*) wobei 
ausdrücklich zu bemerken ist, 
ansieht, so erhält man 
dass dieses Zeichen die Voraussetzung enthält, 
dass bei der zweiten Differentiation der von der ersten herrührende Faktor dx 
als constant betrachtet werden soll. Unter dieser Voraussetzung hat man 
dy " 
Diese Darstellungsweise lässt sich auf beliebig hohe Differentialquotienten 
ausdehnen. Versteht man unter d"y den Ausdruck, den man erhält, wenn man y 
differenzirt, das Resultat wieder differenzirt und diese Differentiationen so oft 
wiederholt. bis man im Ganzen z ausgeführt hat, und bei allen diesen Differen- 
tiationen Zx als constanten Faktor behandelt, so ist 
ary 
dar 
Denn nimmt man an, diese Formel gelte für einen bestimmten Werth von %, 
so hat man zunächst nach der Voraussetzung 
ary = y) dx"; 
durch Differentiation ergiebt sich hieraus, wenn dabei dx 
d(dry) = dy) . da", 
Wenn man hierin dy) = yo) dx substituirt, und d (dry) durch d#+1y 
ersetzt, so ergiebt sich 
als constant gilt 
da+1y ( 
ntly — y(+1) Ja n+1 Q Ere LIE Ee 
qd^*ly — yt) gyn+tl also duni 307r , 
Da nun die Formel für z — 9 erwiesen ist, so gilt sie auch für z — 3, 4, 5.. 
) e ? 
überhaupt für jeden Werth von z. 
Diese Bezeichnung hóherer Differentialquotienten einer Veränderlichen wird 
am häufigsten angewendet. 
2. Hôhere Differentialquotienten einer Potenz. Durch 
successive 
Differentiation erhält man leicht 
d(x») d? (xm) d (aco) : 
Fr" = mani —_— = Mmm — 1) x72 sa =mm—1) (m—9) xm—3 
dx ; dx? ( ) , dx? ( )( ) 
VL (acm 
EN nd om ly 9 m 
dis =" (m — 1) (7 — 2) . . . (mn 
Ist m eine positive ganze Zahl, so kommt man endlich auf 
am x 7 : à ; 
Vine m (an —1)(n — 2) (m — 8) .. . 4-83-2.1. 
Da der mte Differentialquotient von x unabhängig ist, so folgt, dass der 
  
E + 1) xm—rk 
(n + l)te, sowie alle höheren verschwinden. 
3. Hóhere Differentialquotienten des Logarithmus. 
dix ] d? lx dr(x—1 
Aus > — = folst —— = qu An , also hat man durch Anwendung 
da X ; dx” dx" 
des in No. 9 Gefundenen 
  
") Die hochgestellte 2 hinter dem Zeichen 4 ist hier ein Wiederholungszeichen; Ver- 
wechselung mit einem Potenzexponenten ist nicht zu befürchten. 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 
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