Differentialrechnung.
gas z(-——1»071-1.2-3...(n-——x-*.
4. Hóhere Differentialquotienten der Exponentialgrósse.
de*
Da go 596,80 folgt
d? ex x
due ff.
Die Exponentialgrósse e* hat also die Eigenschaft, dass jeder ihrer Differential-
quotienten der Function gleich ist.
5. Hóhere Differentialquotienten von szzx und cosx. Man hat
d sin x d cos x T a da
x = osx, dx = — SINX, un aher
d? sinx : d? cos x
——— = — SINX ——— = — (0$X
dx? j dx? 2
d? sinx a3 cosx :
————— em — (0$X — = Sin x
VET 2 dx? )
dt sinx : dt cos x
i I $2722 X .. xd == COSX.
Somit ist man beim vierten Differentialquotienten wieder zur ursprünglichen
Function zurückgekehrt. Man erkennt hieraus folgende Regel: Um den zten
Differentialquotienten von szzx und cosx zu erhalten, dividire man 7 durch 4;
je nachdem der Divisionsrest p die Werthe hat
p=], 3 9
; d” sinx : :
1st UT Em cosx, — SINX', — COSX , SINN.
dx”
d" cos x ; ;
——— = — INK, — (05%, Sim, vox.
dx?"
Man kann diese Regel in die Formeln zusammenfassen
dr sin x n ) d" cosx (boite a
—— mm Sip (lan +X ree el (OSS XY
dx” 2 , dx" 2
6. Hohere Differentialquotienten von Zang x.
Man hat zunächst
d tang x 1
———À = = |] + tang?x.
dx cos? x
Daher ist weiter
d? fang x 9 3 on
E == 2tangx (1 + tang? x) = Qlangx + 2lang’ x,
d? fang x ; 9 9 d 2 j 4
Ea s e (2 + 2 - 3/ang? x) (1 + fang* x) = 2 + 8/fang” x + blang* x,
d* tang x
|
dx$ (8 -9/angx + 6 - 4tang* x) (1 + fang? X)
|
16/angx + 40/ang® x + 24 tang® x ,
75 fang x
TEE = (16 + 40 - 3/ang? x + 24 - 5fang* x) (1 + fang? x)
= 16 + 136 /ang?x + 240 /ang* x + 120/angS x.
Auf diesem Wege kann man beliebig weit vorwärts gehen; freilich erhält
man keinen Aufschluss über das Bildungsgesetz der Zahlenfaktoren, und findet
einen höheren Differentialquotienten der Tangente nur, nachdem man alle
niederen nach einander berechnet hat.
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7. Wi
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