S 7. Hóhere Differentialquotienten. 451 
In Bezug auf die hóheren Differentialquotienten der cyklometrischen Func- 
tionen verweisen wir auf spátere Entwicklungen. 
7. Wir wollen nun zeigen, wie man den zten Differentialquotienten eines 
Produktes z7 zweier Functionen von x aus den Differentialquotie 
nten von æ und 7 
berechnet. Durch wiederholte Differentiation hat man zunächst 
d UV do du 
E um gy = + I — 
dx dx dx? 
pus uv EE du do d? u 
fferential- E xl + tL + cU, 
dx dx dx dx dx 
hat d? UV du „du dig 0. de du 
Em M LU: E S Dt 33 57, 
da? dx: dx dx dx? dx dx 
d'uv diy du do 6 lu dy du do du 
D FF 2 a tity uh bt on ed aps. 
dx d x1 dx dx3 dx? dx? Ox?) dx d x 
Diese Entwicklungen Ci der allgemeinen Formel 
ad” up ar v nN du dr ly d P dn- 29 n\ du dr39 
Se == 4 — . — : le 
. dxn dx” dx dxr—1 dx?‘ dar) dx3 dxr—3 
_ E 
wobei e nn. s (72 =+ D 
  
  
d. 7 77 
inglichen Um die unbeschrünkte Gültigkeit derselben nachzuweisen, nehmen wir an, 
den zten sie gelte für einen bestimmten Werth von z und entwickeln daraus den nächst 
durch 4; höheren Differentialquotienten; wir erhalten 
En wo (^ qmd rd 2) + C (7 d tu S 
du TF dx dx dx” dx dan U dx? dxn—1 
d? u dry du de 35 
«me TTE Tee 
| artiy : n\| du d'u 7 du diee 
| Mur t | Lc C ) da don - IC j^ 6 )) dx? ‘ dx 
nN\| du dr-27 /n n\| du d»3y 
==. AE + ZZ us 
- IC ) + -G 9) dx3 dar?" C i] a 
Da nun bekanntlich 
72 EL s C = 3 
€ 2214. 7 eO TS 
  
  
so hat man 
artlyy diy n+1\du d'y 7 s; 1 d? u 
——— = U ———— . = . — +. 
dal dax dx dx" dx? | dar 
Gilt also die Formel 1. für einen bestimmten Werth von z, so gilt sie auch 
für den nächst höheren; da sie bereits für % — 2, 3, 4 erwiesen ist, so folgt, 
dass sie für jeden Werth von z gültig ist. 
od 8. Wir wenden dies an, um den zten ee von arc fangx, 
S v 
arc sim x und (are simx)? für den besonderen Werth x — 0 zu erhalten. 
| A. Aus der Gleichung 
dar c tang x 1 
| dx 142 
| folgt 
v) | darc lang x 
| (1 + x2)— == —1=0. 
( dx 
ch erhält Jildet man den (7 — 1)ten Dieentioiqnenencen der linken Seite, so erhält man 
trc fangex ex 92 “arc lang x 
t aU" arclengx . a Larc lang x qu 2 ¢ 
nd finde (14-32) : à + 2(7—1) x - - J (n—1) (n : -9)— ma = 
man alle dx" da” dxr—2 
Daher hat man die Gleichung 
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