452 Differentialrechnung.
gas CN Ex de d de
Wenn man den Werth, den ein Differentialquotient für x — 0 hat, durch
ar arc Ry
dx” 0
bezeichnet, so findet man
d" arc fang x d"—?arc tang x
rue) e necat)
M dx* ^
Da nun
d arc tang x 4? arc tang x
TS) = 1, (A) = 0,
dx 0 dx 0
so folgt, dass der nte Differentialquotient von arc zangx fiir ein gerades z und
für x = 0 verschwindet, während für ein ungerades %
d^ anos n—i
(one) 0-1)9-1:-9-8:40 03.
0
d" arc tang x 2 —1 | d"—arc tang x d"—2 arc tang ?
—————— — X —————
dax 2
B. Aus der Formel
darc sinx 1
ax myi-s „3
folgt zunächst
darc sinx
Vie mm
Hieraus ergiebt sich durch erneute Differentiation
X darc sina — d'arc sinx
PA. à yicet ue
und mithin
(1 — x?) d'arcsins _ x FEST zz.
dx? dx
Differenzirt man diese Gr (z — 2)mal, so erhált man
d" arc sinx Larc sinx darc sinx
(1 — x?) um: 2(n — Dre en - — (n—3)(n—3)- desc
d"—arc sina d"— arc sin
cre Res c0$ xU
oder zusammengerechnet ;
ar arc sinx —Larc sinx dr2arc sinx
(1 — x?) ant. (2% — paf dat m (nm 2 du ems
Diese Gleichung lehrt, wie man den zten Differentialquotienten von arcsinx
aus den beiden nächst niederen ableitet. Für x — 0 hat man insbesondere
G "are Sin 5 d^— arc sim x x
ee e
dar?
Da nun bekanntlich
darc sin d? arc sinx
ce Ee (omm = %
so folgt, dass der mte Differentialquotient von arc sizx fir x = 0 und für ein
gerades z verschwindet, wáhrend man für ein ungerades hat
d" arc sin x
ry -— 2. X
( 7 > 12 (5 .(n—2).
C Setzt man ‘un == (are sinx)?, s0 ist
du Qu Ge dut
— — ———— — 2 .— — A
dé a Vie? is
x du 2 dn
+ 1 ;
— ; : m V1 — X . dx) LI 9 yi-— a ) folglich
Wir
ne
(1—x s
Hier
Different:
Insb
Da 1
so folgt,
jedes ung
ist, die F
9; |
Functio:
Ist y
zunächst
dy
dx
e
dx?
d3y
dx?
d*y
da*
Hiern
T.
worin die
Function
Formel 1.
d(u*)
dxr
wofür wir
9. du
dx
so dass n
Differentia
ander una
Setzt
