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durch 
es z und 
  
arc sinx 
|y" =>. 
x 
oem s 
| arcsinx 
dere 
| für ein | 
   
  
8 7. 
Hohere Differentialquotienten. 
j ^U du 9 
de e 
d hiervon der (z — 0 Differentialquotient gebildet, so erhält man 
de gu Tu TU du 
x? E —9Y—. Eds = 
(1— e 2 (n—2)x - dc — (n—2)(n—83 Tat — (n—2)- da 9: 
Hieraus folgt zur Berechnung von 4^z: Zx* aus den vorhergehenden 
Differentialquotienten 
aru 1 dry du 
ei E mere 0t == : 
Insbesondere erhält man 
dr(arc sinx)? an arc sin x 2 
———t = (a — 2928 ———— 
dar = dam 
Da nun, wie aus den ersten Formeln leicht sich ergiebt 
d(arc sin x)? d'arc sin x)? 
C V HET ) "m Q , Care ES 2 2 
dx D dx Ü 
so folgt, dass der mte Differentialquotient von (arc sinx)? für x = 0 und für 
jedes ungerade z verschwindet, wáhrend für jedes gerade z, das grósser als 9 
ist, die Formel gilt 
(er 2 9.20.40 .67.82.! 
9. Höhere Differentialquotienten einer Function von einer 
Function. 
Ist y — (vu) und z — e(x), so erhält man durch wiederholte Differentiation 
zunächst 
  
. (nn — 2)?. 
dy df. 
E Tm 
dy dF DE 
dx? = du e t dus HS 
as dF qd? F as F 
To ST A = dt 
diy AR opp BF dt F 
Il 
mm AM --——-(4&u'u--34'2) + G- sun + uuu. 
dat du du? \ ) du 
du 
Hiernach übersieht man, dass allgemein 
ary ar a2 F as F dr F 
r Au cg tu wage, 
worin die X; Functionen von x sind, die nicht von der besonderen Art der 
Function / abhängen. Man kann daher diese X, ermitteln, indem man in 
Formel 1. die Function 7 specialisirt. Setzt man (uw) — u^, so erhält man 
rt = nu" 1X, + n(n — 1)u 2X, + nn — 1) (a — 2D w—3X, + 
wofiir wir setzen wollen 
d( (um) 
di 
S0 dass nun 
3. 
=( o: 4 C ru, op C jeu +.... + Un, 
: U, , t 72; U, . 
Differentiation auszufiihren, bemerken 
ander unabhiingig sind, und z + # = 
dw) _ 
d'w 
zu bestimmen sind. Um die links angedeutete 
wir zunächst, dass, wenn z und 7 von ein- 
w gesetzt wird, die Gleichung gilt 
d^d(z a ?) 
die n 
Setzt man für z/ einen besonderen Werth JZ, so ist es gleichgültig, ob man