454 Differentialrechnung.
erst ¢ (2) nach ww nmal differenzirt und dann zv durch J7 ersetzt, oder ob man
4(JV) in Bezug auf W differenzirt. Wihlt man insbesondere J/ = z, also 7 — Q,
so erhält man
3 dz) dez d£
2 a= E de
webei rechts durch die angehängte Null ausgedrückt werden soll, dass man nach
)
geschehener Differentiation 7 — 0 zu setzen hat. Insbesondere ist also
: d" (un) [d e (x +a
4. gx" d£? 0
Rechts benutzen wir die Identität
px +) =u + (x +5) — e(x) = 4 + 0,
wobei zur Abkürzung gesetzt ist
P= x +7) — x.
Hiernach ergiebt sich
: 2 n
[e x zs 2r L— ut + C) ur—1® == 9 ur—2®2 +. + $^,
und daher durch Differentiation nach #
d^ I" [ex + ak n 7 * , 07 e iu a dre? d^ q^
dir (dp # dm oU tA
Daher ist in t it auf 3
x d^ un EN ird T 2 dre? 3 pr d 25)
2. dx" ^. u jid o» us 3J)7 "VC um ass
Vergleicht man dies mit 2. and setzt für ® den Werth zurück, so erhält
man fiir die gesuchte Function Ur den Werth
d"|e(x 4-7) — e(xr
L dtr Ik
Entwickelt man rechts nach dem binomischen Satze, und beachtet, dass nach 3.
d )- d p(x)”
dr dx”
6. =
)
so erhält man
7 Ü drut _ )^ dr uk— , d uk—2 +: ) 1a 79
; b Fda D di das 0. VAN g da^"
Insbesondere erhält man aus 6. oder
Ü d'u dr u? ó d'u U ary’ Lydon? LL
umque cum auri uu Usu — S050 oF Sula
qaa , Anl : aru? . d
Ur = —— — 4u—4— -F- 64? — — 4x? —.—.
dx? dx” dx” dx”
Die ursprünglich gestellte Aufgabe ist hiernach auf die einfachere zurück-
geführt: Die zten Differentialquotienten der Potenzen von z von der ersten bis
zur zten zu bestimmen; mit Hülfe dieser Werthe gewinnt man die Functionen
4*) und hat schliesslich (1)
5 ON LU SUE Uy d? Fu) 4 U, FC diu Un de F0 p)
'o da" t du 1:29 du? 1-2-3 dud e
Betreffs der Anwendungen dieser Formel begnügen wir uns hier mit einem
Beispiele.
ce
Für # = x? hat man
p(x +2) — 9x) = (2x +0),
und daher
s) Hor, Theorie der independenten Darstellung der hóhern Differentialquotienten, Leip-
zig 1845. ScHLÓMILCH, Compendium der hóhern Analysis. 3. Aufl. Braunschweig. Bd.2, pag.!
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(No. 7),
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