rigen Ab-
rlichen.
üabelnu y,
Es ist
vorge-
fferentia-
un
7. Hohere Differentialquotienten. 457
Aus der Identitit dieser Ausdriicke folgt
025 0 g
Ox0y ^ OyOx'
Ist z eine Function von 2 Verinderlichen Xv Koy as 0 X4, SO hat man
07g oi 02 Q"—i—23g
a Ca OX, Oxo 9340x4 .. 0x, Oxo x2 0X3... 0X,
Qi 02 Qu—i-2g
9
und daher nach 3. =
. 0X; ÓX;426X;44 0X;43 .. 0x,
0 ng
0x,0x, .
ET A ^"
X10Xq . .
> Óx;ÓXiL20X;10X443 e MA
Ds}
Man kann daher bei % Differentiationen irgend zwei auf einander folgende
vertauschen. Da nun durch wiederholte Vertauschung benachbarter Elemente
aus einer Reihe von Elementen jede Permutation derselben hervorgebracht
werden kann, so folgt die allgemeine Geltung des behaupteten Satzes.
12. Ist y eine Function dreier Grössen w, v, w, die ihrerseits wieder Func-
tionen einer Variabeln x sind,
y = fu 9 ),
# = 9, (2), v= (a), w= Ps (X),
so hat man
EL
Ey + —. + x—-.19
dx Ou ov cw ’
2 7 ) 7 027 "E 02
d? y ae 0 f n 0f En zr 0? f ! 027 ! !
REE MM T Pia USE au ant Lans aux 7 u
ax Qu 07 Ow ou 0400 0 2,04U
02; 22 22 02 9 29,
+ (oo del Ly wv - Tin u’ + Lk v' 4- o w'} w'
0400 072 vow Ou0w 0v0w 07?
Jm o ut 0 "
= - z— 9" -F z— 49
Ou ov ow
02 f | 8n 02 f 0? f e? 8?
es? A Vt et Qa yy EU + 2 y 20! A Aor ur 2
Ou 0400 040W ov 01040 0
Indem man auf jedes Glied dieses Ausdruckes die Regel fiir die Differen-
tiation eines Produktes anwendet und die Glieder des Resultates geeignet ordnet
und zusammenrechnet, gewinnt man weiter den dritten und hóhere Differential-
quotienten; man wird auch die Formel leicht auf Fälle ausdehnen, wo y als
Function von mehr als drei Grössen erscheint, die Functionen derselben Unab-
hängigen x sind.
13. Ist z eine Function zweier unabhängigen Veränderlichen x und y, so
ist das totale Differential von z
dz =
Dj D
-dx + dy.
x 0 y
Dies ist der verschwindend kleine Zuwachs, den z erhált, wenn x und y um
die verschwindend kleinen Betrüge Zx und 4y wachsen; Zx und dy sind unab-
hängig von einander, sowie unabhängig von x und y. Somit ist Zz eine Function
von x und y und zwar sind dieselben nur in 0z:6x und in óz: 0 y enthalten.
Das totale Differential von Zz bezeichnet man als das zweite totale Differen-
tial 722; das totale Differential von 4?z als das dritte totale Differential @ z u. S. W.,
und setzt dabei voraus, dass bei allen diesen Differentiationen Zx und dy unver-
ändert dieselben bleiben. Man hat hiernach
