KT — CU METAL E 
     
         
   
  
   
     
     
    
     
     
   
    
   
   
   
   
     
    
    
    
    
       
  
       
           
     
    
460 Differentialrechnung. 
Ordnung haben, so haben C, und C, in P unter sich eine Berührung von zter | Tangent 
oder höherer Ordnung. | dem zw 
Wir zeigen zunáüchst, dass die Eigenschaft zweier Curven, in einem Punkte | stationär 
eine Berührung zter Ordnung zu haben, vom Coordinatensysteme nicht abhängt. | Berührui 
Geht man vom ursprünglichen Systeme x, y zu neuen irgend wie definirten | 
Coordinaten z, v über, und sind die neuen mit den alten durch die Gleichungen | Dal 
verbunden | achse W 
e x, p)r v = D, », | Die 
so erhält man durch Differentiation | >, 
; N N ^ | als Pol 
da = (2 + 2) gx, du = (52 + 2) dx, 1 
vs 5 HH Hie 
und hieraus durch Division 9. 
9 = 2 = 0, (x, y, y). 3. a? +H 
Weiter erhält man | Aus 
( 0 ( 0 | 
gv = es + em cy + s o") dx; | 4. 
Dividirt man durch du, so entsteht ein Resultat von der Form Aus 
7 =D, y, y. | 9. 
So weiter schliessend, erkennt man, dass | Aus 
7 | 
dus T «(5 sss) | 
dass also die ersten % Differentialquotienten von v in Bezug auf æ Functionen 
von x, y und den ersten z Differentialquotienten von y in Bezug auf x sind; 
in Bezug auf y', y" . . sind diese Functionen algebraisch rational. Wenn daher = 
für einem 5 gemeinsamen Punkt zweier Curven die ersten z Differentialquotienten | Die 
9 y, y", y". . J^? dieselben Werthe haben, so haben auch für diesen Punkt | 6. 
die Differentialquotienten v', 2", 2" . . . 90) dieselben Werthe. Füh: 
2. Eine Gerade, die den Punkt x, y einer Curve Jy — (x) enthált, hat eine | is à. 
| 
Gleichung von der Form so erhält 
nN — 3 = mME— x). 
Hieraus folgt | 
an | Erse 
dy v | plication 
Für die Curve ist im Punkte x, y | daher fin 
> = f(x), | 7. 
die Gerade hat mit der Curve in P eine Berührung erster Ordnung, wenn | Aus 
m — f'(x) die Gleichung der Geraden, welche in 2 mit der Curve eine Be- à e 
rührung erster Ordnung hat, ist daher 
n= F(æ) E— x) = 0. Durc 
Da dies die Gleichung der M ER enr im Punkte P ist, so folgt: Die | 
: : 72 — - 
Tangente einer Curve hat mit der Curve eine Berührung erster | ¢ 
Ordnung. | 
Der erste Differentialquotient y' einer Geraden ist für alle Punkte constant; 
mithin verschwinden der zweite und alle höheren Differentialquotienten. Wir Real 
sehen daher: Wenn für eihen Punkt JA, einer Curve der zweite Differential- A «e La 
quotüent y" verschwindet, so hat die Curve mit der Tangente in P eine Be- Halbmess 
rührung zweiter Ordnung. Die Curvenpunkte, für welche y'' verschwindet, y'" Lo Ly; 
aber nicht verschwindet, heissen Wendepunkte (oder Inflexionspunkte), die schneidet