von zter 
m Punkte 
; abhängt. 
definirten 
eichungen 
inctionen 
- x sind: 
nn daher 
1otienten 
(n Punkt 
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t: Die 
) 
erster 
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n. ^ Wir 
erential- 
ine Be- 
det, y" 
te), die 
8 8. Krümmung ebener Curven. 461 
Tangenten in diesen Punkten heissen Wendetangenten. Verschwindet ausser 
dem zweiten noch der dritte Differentialquotient, so heisst der Punkt ein 
stationärer Punkt, die Curve und die Tangente in diesem Punkte haben eine 
Berührung dritter Ordnung. Für die Sinuscurve ist 
y == sinx, y! e oux, 9 y" um n my. 
Daher sieht man, dass die Durchschnittspunkte der Curve mit der Abscissen- 
achse Wendepunkte sind. 
Die Gleichung der Fusspunktcurve der Ellipse für den Mittelpunkt der Ellipse 
als Pol ist bekanntlich (8 5, No. 12) 
1. a?x? + 02y2 — (x? + y?2)? = 0. 
Hieraus folgt durch Differentiation 
dix ck Pyy — 2 (a? + y°)(æ +95) = 0, 
Be 2 22 AR Ba py E? 4 —a(e-- = 0, 
Aus 2. ergiebt sich 
(a? — 27?)x 
(j—373)y' 
Aus 3. ergiebt sich, dass y" unter der Bedingung verschwindet 
5. d 999 9:20 79 -— (2? 4 HPP TY 9. 
Aus 4. erhält man 
7 
4. Yy= 
#2 LL x? + y?. 
x(b? — a?) 
52 — 972 ? 
272 (1 + y'2) — (a2 + 629'2) = 252 — a2 + (972 — 92) y'? 
972 __ a2 ; 272 — a? 
= = s (uten) a EE f 
Die Gleichung 5. liefert daher nach Beseitigung der Nenner 
6. 4x? y? (a? — 52)? + (272 — a?) (272 — 52) 74 = 0. 
Führt man die zweite Multiplication aus und beachtet, dass 
Ar! — 2720? — 27203 — A(a? x? 4-02?) — 27242 — 972 52 — 9 (a3 — 92) (x3 — 2), 
so erhält man aus 6. 
2(a? — 0?) [2x2 y? (a? — 62) + 74 (x2 — y2)] + a25274 — 0. 
Ersetzt man in der Klammer 7* durch a?x? + 52y2, und führt die Multi- 
plicationen aus, so erkennt man, dass der Klammerinhalt z?(? x? — 2? y?) ergiebt; 
daher findet man schliesslich für die Wendepunkte 
qp 
9x2 2,5999 1 Luo En 
7. ax 0?) Sa? — 57) r 
x yy == 
Aus 1. und 7. erhilt man 
1 a? bh? 1 a? bh? 
QE -9 EN NEAR T. 393 „2 Ag ep. Nie 
Tu ses) Pl + Sarg) 
Durch Addition dieser beiden Werthe ergiebt sich 
0-509242 Q1 V Og a2 202) 
V 2(a? + 62)? = 4(a* — 0%) (a? + 62); | 
yu Stata in. | 
JT mm 4(a* — 24) (a? -- 02)' e 
Reale Wendepunkte existiren also nur, wenn 
0? — ia?. In Figur 489 ist A der Kreis mit dem 
Halbmesser a2 y/3 : V2 (a? 4- 22); die Punkte /,, 7, 43 : Ü 
P,, P,, in welchen er die Fusspunktcurve durch- 
Schneidet, sind die Wendepunkte. (M. 489.) 
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