462 Differentialrechnung. 
  
3. Die Wendepunkte der Curve /(x, y) — 0 sind die Schnittpunkte mit der 
Curve 
S oer ames 
ox? \oy “0x0y 0x Oy 893:409 4] To 
Die Wendepunkte einer Curve kónnen aus der Gleichung in homogenen 
Coordinaten durch die Bemerkung gewonnen werden, dass im Wendepunkte 
benachbarte Normalen parallel sind und benachbarte Tangenten zusammenfallen. 
geht die Tangente 
Tm ce fe Jl m. wobel p=", 
“ x OX; 
T, 29 7 + (f414%4 +Ff194%9 + F1 3 4x3) E 
+ (fa d%, + f994%5 + F9 5 9x3) Ey 
^F (ado, + F93 4x5 + F3 3 4x3) E4 = 0. 
Beide sind identisch, wenn für 7 — 1, 2, 3 und ein noch unbestimmtes y 
Si dxy + [figdxy + Sizdaz = Mi. 
Nimmt man hierzu noch 
#44, + F9dx + 73dx, = 0, 
so erhält man für die Coordinaten der Wendepunkte die Bedingungsgleichung 
Liz fA, Jae A 
fia a2 Jas Ja | 
fia fas Sis Su | 
de fa 4 9 | 
Multiplicirt man die ersten drei Colonnen der Reihe nach mit x,, x,, x, 
addirt sie zu der mit — (z — 1) multplicirten letzten und beachtet, dass nach 
Aendert man x,, x4, x, um unendlich wenig, so 
über in 
dem EULER'schen Satze 
Jud, + fig%y + Fig%3 — (A — 1); = 0, 
so geht die Bedingung über in 
lai S12 Jia 
S13) faz Sas | = 0. 
fis Sas Sis | 
Diese Gleichung ist vom Grade 3(% — 2); hieraus folgt, dass ein eigentlicher 
Kegelschnitt keinen, eine cubische Curve 9, eine biquadratische 24, eine Curve 
unten Grades 3z(z — 2) reale oder imaginäre Wendepunkte hat. 
4. Die Gleichung einer Curve dritter Ordnung, welche die Ecken A,, 4, 
des Coordinatendreiecks zu Wendepunkten und die Seiten 4,4, und 4,4, zu 
Wendetangenten hat, ist von der Form 
GXxX) - oxQXx3(50,x, d 04X5 -- 0,x3) = 0. 
Der Schnittpunkt Z von x; = 0 mit 24x, -- 63x; = 0 ist der dritte Schnitt- 
punkt der Curve mit der X,-Achse. 
Die Wendepunkte sind die Schnittpunkte der Curve mit 
ax, [1252 5342 %3 — Lx 2 — 3(0 x, -- 204 x5 4- 205 x, 9?] = 0. 
Dies zeigt, dass auch 3 ein Wendepunkt ist, dass also bei einer Curve III. O. 
jede Verbindungsgerade zweier Wendepunkte noch durch einen dritten geht 
(Anal. Geom. d. Ebene, 8 15, No. 5). 
Die Lemniscate hat die Gleichung 
Fx y) = (x? + y?)? e 922 (x? — y?) zu). 
Man findet, wenn man x? + y? = rz? setzt, 
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| 
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
   
   
  
   
  
   
  
   
  
  
  
   
   
   
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
   
   
  
  
  
    
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