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itten geht 
  
$ 8. Krümmung ebener Curven. 463 
02 f f 02f 
  
ees — 3 fe e 2 9 ^2 LS E Q x4 m 29 25 ‚2 
A10 a? + 2x?), Tidy TS pH nat 25. 
Fiir Wendepunkte hat man daher 
{rt se at) [74 os a? (x? — p23} + 8 at x2 y? — 0 s 
In Rücksicht auf die Gleichung der Lemniscate erhält man hieraus zunächst 
[2(x? — y?) — a?] (x? — y?) 4- 8x2y? — 0, 
(x? — y?2)? -- 4Ax2y2 — 0. 
Der Nullpunkt ist der einzige reale Punkt dieser Curve. 
5. Der Krümmungskreis. 
und schliesslich 
Unter dem Krümmungskreise einer Curve 
y — f(x) in einem Punkte P derselben versteht man den Kreis, der durch 
diesen Punkt der Curve geht, und in diesem Punkte mit der Curve eine Be- 
rührung zweiter Ordnung hat. Hierdurch ,ist dieser Kreis eindeutig bestimmt, 
denn er hat drei verschiedene Bedingungen zu erfüllen. Das Centrum des 
Krümmungskreises nennt man den Krümmungsmittelpunkt der Curve, den 
Radius desselben den Krümmungshalbmesser; der reciproke Werth des 
Krümmungshalbmessers wird als die Krümmung der Curve (im Punkte p 
bezeichnet. 
Da die Curve und ihr Krümmungskreis in P denselben Werth des ersten 
Differentialquotienten haben, so folet, dass sie in 2 eine gemeinsame Tangente 
haben; hieraus erkennt man: Der Krümmungsmittelpunkt einer Curve 
für einen gegebenen Punkt derselben liegt auf der diesem Punkte 
zugehórigen Normalen der Curve. Sind &, » die Coordinaten des Krümmungs- 
mittelpunktes, und ist p der Krümmungshalbmesser, so ist die Gleichung des 
Krümmungskreises 
1. (@#— 82 +0 — 4)? = 02. 
Durch zweimalige Differentiation ergiebt sich 
x—t- (y—5)5 —0, 
[ok ats ep y e 
Ersetzt man in diesen Gleichungen x, y, y', y" durch die Werthe, welche 
diese Grössen für die Curve y — /(x) im Punkte P haben, so enthalten sie nur 
noch die Unbekannten &£ n, p; man erhält für dieselben zunächst aus 3. 
4. Yyn=— 04 ya): pl, 
und mit Hülfe dessen aus 2. 
Po 
© 
- 
5. x—E=(+y?)y' y". 
Durch Substitution von 4. und 5. in 1. folgt für den Krümmungshalbmesser 
(1 + y'2)? 
u— > : 
Ferner ergeben sich aus 4. und 5. die Coordinaten des Krümmungs- 
mittelpunktes 
  
  
V 
(1 + pa) y 
E EX SCR AERIS Es, 
y 
Um zu entscheiden, auf welcher Seite der Tangente der Krümmungsmittel- 
] 
N= No 
punkt liegt, setzen wir die Coordinaten & und » desselben in die linke Seite der 
Tangentengleichung ein; wir erhalten, indem wir von 4. und 5. Gebrauch machen 
/ ! ! ' !919 
rus yt — Qnam 
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Substituirt man dagegen in 7'die Coordinaten &£ — x und n = 0 der Pro- 
jection P' des Punktes 2 auf die Abscissenachse, so entsteht T y 
Rechnet man die Normale in der Richtung nach der Abscissenachse positiv,