e Strecke 
ür Curven, 
Abscissen- 
gativ oder 
inaten mit 
+ Ay hat 
der durch 
windendes 
bestimmt, 
unendlich 
. überein, 
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Hieraus 
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so erhält 
den die 
T 
us einem 
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windend 
s 2 und 
nntlich 
§ 8. Krümmung ebener Curven. 
  
d's ds (ds 
Nu Rr). 
Da nun c — arc lang(r : 1"), so folgt 
ds ad 
  
7 pz» y! 
Jo 7 7e 4€ fang — = —— 
do de x 52 — y? » 
ue: € ds 72 4 9712 — py"! 
mithin ist E 1 = — — 
de KT op? 
Da ferner ds = y72 + 3 de, so folgt für Polarcoordinaten 
(rà 4- 22)? 
0m nl gr £c. 
Es verdient schliesslich noch bemerkt zu werden, dass man aus 8. für p in 
rechtwinkeligen Coordinaten noch die constructiv verwerthbare Formel gewinnt 
N3 
11. 
10. 
wenn /V die Normale in 2 bezeichnet. 
6. Aus der Kegelschnittsgleichung r = p : (1 + e cos o) folgt (8 5, No. 18) 
y as S, 
7 zx = (2 rr sino ~+ 72 cos ©) E ez (Ass roe) ; 
e £ P 1 + 8c0s@ 
Daher ist 
Pt (: s en) ori 
1 + ecose f 
Für den Krümmungshalbmesser findet man somit 
ds \3 
= (a) 2 r 
Da nun allgemein aus ds = pr? +? dp | MT ; 
und fangs = 7: folgt Lm up/ 
eid. | A 
rdp = sins’ | 3 A AN 
So hat man schliesslich 0 7 TC Aur ee 
made 1 Np 
p= sin3g' D/ ste 
Aus dem Dreiecke FPB folgt Hi 
PB = rsing : sin (p — 90° + g) N 
= 7SING ! (SING SING — €0$ 9 cos c). (M. 490.) 
Da nun 
(o0 132a 2l m 7 iv Yr? + 72 = krsum 9:5: Vs?r? sig p, 
so ergiebt sich die Normale 
pp — "V=**sinèe + p? _ VOU ET. 
B — sr cos q £ sing 
Macht man daher PA — p und AB L FP, so ist PB die Normale; macht 
man ferner BC L PN und CD L £D, so ist D der zu P 
  
gehórige Krümmungs- 
mittelpunkt. 
Für die Cycloide (S 5, No. 6) ist 
; Sint 
ciem "5 
» 1 di ] 
y = — m 
2sin? 4t dx 
» Aasinidt' 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II.