Differentialrechnung 
Das Bogendifferential ist 
e duce | d 1 
ds = Vds? + dy! —9asinltdi, also — 
7 P 
Daher folgt für den Krümmungshalbmesser 
p = — 4asin dt. 
Für die Normale ergiebt sich 
Ny = 2asinit, 
folglich ist der Krümmungshalbmesser doppelt so lang wie die Normale. Da y" 
immer negativ und y positiv ist, so liegt der Krümmungsmittelpunkt auf dem 
nach der Abscissenachse gerichteten Theile der Normalen. 
1. Für die archimedische Spirale 7 = a ist der Krümmungshalbmesser 
e — (r? -- a3: (r? + 24%); 
er ist leicht zu construiren. 
Der Krümmungshalbmesser der logarithmischen Spirale 
y ge 
hat zum Radius das constante Verhältniss Viu die Dreiecke, welche den 
Nullpunkt, einen Spiralenpunkt und den zugehórigen Krümmungsmittelpunkt zu 
Ecken haben, sind einander áhnlich; die Evolute kommt daher mit der Spirale 
durch Drehung um den Nullpunkt zur Deckung. 
x x 
Für die Kettenlinie y = ja (A ret) ist der Krümmungshalbmesser 
gleich der Normalen. 
Die Polargleichung der Lemniscate ist 7? = a?cos2q.  Hieraus folgt 
p4 + ppt = at, rp? L9; — 77 = 8,72 + r'R), und daher 
a? 
em 
§ 9. Csculationsebene, Krümmung, 'Torsion und osculirende Kugel an 
Raumcurven. 
1. Eine Ebene, die durch einen Punkt P einer Raumcurve C geht, hat eine 
Gleichung von der Form 
I a (€ — x) + db (n — y) + c(E— z) = 0. 
Denken wir uns auf dieser Ebene durch P eine Curve l' gezogen und die 
Coordinaten &, y, { eines Punktes dieser Curve als Functionen einer Variabeln 4, 
so erfüllen diese Functionen die Gleichung 1.; ihre ersten und zweiten Differential- 
quotienten erfüllen daher die Gleichungen 
: dt , dn dt 0 
2: eu mo gu 
; d? E d? de ; 
3. a dB + à dB zi € 28 = 0. 
Denkt man sich die Coordinaten der Punkte von C ebenfalls als Functionen 
der unabhängigen Veränderlichen /, und verlangt, dass im Punkte P die ersten 
Differentialquotienten der Coordinaten für C und I* dieselben Verhältnisse haben, 
so muss die Gleichung 2. erfüllt sein, wenn man die Differentialquotienten von 
& * & durch die von x, y, z ersetzt. Dadurch erhält man 
dx dy dz 
Hierin sind a, 2, c unbestimmt. Da die Differentialquotienten von x, y, % 
  
  
    
   
     
  
   
     
   
   
    
    
  
  
  
    
  
   
   
     
     
    
    
   
   
    
   
    
     
   
  
  
     
     
8 « 
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