rselben 
r Curve 
uj 
rkt, dass 
nd dann 
für die 
292) 3 - { 
5 = 0. 
2 
p, y, s 
ialebene, 
nsebene. 
d haben 
chbarter 
zeichnet 
pP PM 
&reis als 
ichungen 
also die 
  
8 9. Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 469 
Hieraus folgt 
s ; Ys! — Zy is 
rr TT 
Zx' — Xs! o 
— v eC 
1 1 =} + V4 7 7 
i; 
vias Xy — Yx y2 
TANTI 48 DA 
Der Krümmungshalbmesser p ergiebt sich zu 
Y(Yz — Zy)? + (Zx' — Xs? -- (Xy — Ya? 
o cm X TR HZ ; 
Der Radicand ist, wie man leicht erkennt, identisch mit 
(X? -- V? + Z?)(x'2 + y'? + 3'2) — (Xa' + VV + Z3")2. 
Zufolge der Werthe von X, Y, Z verschwindet der Subtrahend identisch; 
  
$2, 
  
man erhält daher für den Krümmungshalbmesser einfacher 
9. p353:y X32 y3 + 72, 
Ferner findet man leicht 
X? + Y? + 72 == (x2 4r" + 51123 (x'2 + y'2 + z'2) d Wal + y'y" es 2! g^? : 
8 4 y Ig 
i y AAT) et vue 
  
  
Da nun x'x" + yy" + 2'3" = 1 g's 
dt 
so ist 
9. 0 
  
\ 
yx"? y + 218 — SA 
Für die Cosinus der Richtungswinkel ç, 4, y des Kriimmungshalbmessers hat man 
4. cosp — (Yz — Zy): M, cosy = (ZX — X3): M, cosy — (Xy — Yx'): M, 
wobei M-—syX: + V? + 72, 
Nimmt man szur unabhüngigen Veründerlichen, so ist s' = 1, s'=0 
und daher 
  
1 
5. p= V [s 7 d?y 2 22z\2 . 
n "E ds? m 7) 
Ferner ist, wie man sofort erkennt 
Yz' — Zy! ex x'(s!? — x'2) — x'(s's! — x'x') zs s'(x"s! — x's"), 
Zx' — Xs! e s (ys! — ys), Xy' — Yx zs s! (s! — zs), 
und daher 
| 
x! 
d ga as 
Yoh Zp £3 .- = Za = HZ . — a !—$!3. . 
Zy $ #5) ; £x Xs s 515) ‚A Ay zs) 
Demnach kann man die Formeln 1. durch die folgenden ersetzen 
gon p? da 
$ 
2/2153 
6. Lares Pl OH) 
; 5 J $' 2 (5). 
. 
Ist s die unabhängige Veränderliche, so vereinfachen sich diese Formeln zu 
d? x q? y d? z 
7. Sr MIR AA 
= ps m nant 
60s == 0, cosy = B55, COLE R TR 
Bezeichnet man die Werthe, welche x', y', z' für den Punkt x + Ax, y + Ay,