470 Differentialrechnung. | $6 
2 -- Az annehmen (s als unabhángige Variable verwendet), mit x' 4- Ax, y! 4- Ay, | T'orsior 
Z + Az, s0 sind a', y', s' bez. x'-- Ax', Y' + AY, 2 4- As! die Richtungscosinus hat ma 
der Curventangenten in 2 und P'; daher hat man 
  
  
  
xu ys em t 
(x' -- Ax? 4- (y' -- Ay)? + (HAS)? = 1. Sir 
Hieraus folgt aus der 
8. — 9(x'Ax -- y'Ay! 4- z'As') = (Ax)? + (Ay)? + (A292. 
Ist À« der Arcus des Winkels der Curventangente in 2 und P2", so ist 9 
cosAt = x'(x' + Ax") + y'(y' 4- Ay") + z'(z! 4- Az), | e 
= 1 + x Ax' + y'AY + FAL; | 
folglich ist | oder, w 
3ssjAv — yBü — esas) — Vy Gy Gr. 2 
Ersetzt man dies durch | Ha 
BC [iy (zy. (y | Bogens 
® Av As TT As As As | man di 
und geht zur Grenze für ein verschwindendes As über, so erhält man | 4. 
da V [d?x\2 (d?y\? (d?z\? 5, 
9. AT (=) = (52) = (=) | | a 
Mit Hülfe dieses Ausdrucks gewinnt man fiir den Krümmungshalbmesser Ad 
10 2 
d er dt mithin i 
der Form und der geometrischen Bedeutung nach übereinstimmend mit dem 
Krümmungshalbmesser ebener Curven. 
Bezeichnet man As einen Curvenbogen und A« den Arcus des Winkels der De 
Tangenten in den Endpunkten dieses Bogens, so wird der Quotient At: As als 
die mittlere Krümmung des Bogens As bezeichnet; die Krümmung eines 7. 
verschwindend kleinen Bogens ist das Reciprocum des Krümmungshalbmessers. | ie 
Die Normale der Curve, die in der Osculationsebene enthalten ist, auf | Hie 
welcher also der Krümmungsmittelpunkt liegt, wird als Hauptnormale be- | ; 
zeichnet. Sind «, ß, y bez. e, V, y die Richtungswinkel der Tangente bez. der | 5 
Hauptnormale, so hat man auf Grund der Formeln 6. | 
o df p. dy p dz | Aus 
B e t 2). ad Le). er ls) E + 
Da nun | Es 
x' ; y Z' ds Gleichui 
cosa = PE cosp = PE Cos m 5 p = a 10. 
so erhält man Da 
19. ep E ies EN nes à CO 
de? v pe / c durch D 
9. Plancurven haben in allen Punkten dieselbe Osculationsebene, nämlich 
die Ebene der Curve. | so folgt 
Bezeichnet Aw den Arcus des Winkels der Osculationsebenen einer unebenen | 11. 
Curve in den Enden des Bogens As, so kann man sagen, dass die Curve um Fer 
so stárker von einer ebenen Curve abweicht, je grösser das Verhàlt- 
niss Ae :As ist. Man bezeichnet diesen Quotienten als die mittlere Torsion | daher is 
des Curvenbogens As. Der Grenzwerth | cosh d co: 
 A« do Füh 
eg. m deos, d 
heisst dem entsprechend die Torsion der Cur ve im Punkte 7; die reciproke (cos) cos.