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eciproke 
8 9. Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 471 
Torsion heisst der 'lT'orsionshalbmesser; wird derselbe mit p, bezeichnet, so 
hat man 
ds 
Sind A, p, v die Stellungswinkel der Osculationsebene Q, so ist, wie sich 
aus der Gleichung von Q sofort ergiebt, 
X Y 
JET KT 
  
COSÀ — 
  
oder, wenn s die unabhängige Variable ist, 
3. tosh = pX, cosp = pY,  tosv = oZ. 
Haben die entsprechenden Cosinus der Osculationsebene im Endpunkte des 
Bogens As die Werthe cosh + AcosA, cos. + Acosp., cosv + Acosv, so hat 
man die Gleichungen 
4. 1 = cos?) + cos?p + cos?v, 
5. 1 = (cos) + Acos))? + (cosp. + Acosp)? + (cosv + Acosy)? , 
6. cos Aw = cosh(cosh + Dcos)) + cosp(cosp. + Acosp) + cosv(cosy + AcosvAv). 
Addirt man 4. und 5. und subtrahirt davon das Doppelte von 6., so erhält man 
2(1 — cosAw) — (AcosX)? -- (Acosp)? + (Acosv)?, 
‚sinAw Aw — V Acos V? Acosp A? Acos vM? 
SAO CAS 7 CAS Vas) Ux) 
Der Uebergang zur Grenze liefert schliesslich 
mithin ist 
  
  
  
  
dw / ( dcos XA? deos y ? deos v V? 
t US T V (5 + fd + e) ; 
Hieraus folgt der Torsionshalbmesser 
1 
8. Py = / ( dcos XA? dcospA? dcos vA? - 
VER): Gay um 
Aus 7. folgt 
9. do = V(dcos\)? + (dcosp)? + (dcosv)? . 
Es giebt daher eine Gerade, deren Winkel ¢,, ¢,, y, mit den Achsen den 
Gleichungen entspringen 
  
10. dcos — cosq,do, ‘deosp = cosy, deo, dcosv = cosy, do. 
Da nun aus 
cos?) + cos?p. + cos?y = 1 
durch Differentiation hervorgeht 
cos) dcosk + cosy dcosp, + cosy deosy = 0, 
so folgt in Rücksicht auf 10. für ¢,, ¢;, y, die Gleichung 
11, coskcose, + cospu cosy, + cosy cosy, = 0. 
Ferner ist bekanntlich 
cosh cosa + cosp.cosB + cosveosy = 0; 
daher ist auch 
cosh dcoso. + cosy. dcosB + cosv dcosy + cosa dcosh + cosB dcosp. + cosy deosv = 0. 
Führt man für dcosa, dcosß, dcosy die Werthe aus No. 4, 12 ein, sowie für 
deos), dcosy, dcosv die Werthe 10., so erhält man 
(cosh cos + cosy. cosy + cos v cosy) da + (cosa cose, +cosB cos, +cosy cosy,)do =0.