478 Differentialrechnung. 
  
3. dpdx + dgdy + drdz + Edu? + 2 Fdudv + Gdv? = 0, 
wobei wie immer dp, dq, dr die vollständigen Differentiale 
— OP op 
df == a du ux dg. s W. 
bezeichnen. Differenzirt man No. 4, 4 nach dem Winkel zweier Tangenten 
einer auf der Fläche liegenden Curve, so erhält man 
&d dx dd d dz di dx dp d dr dz 
+ eine pM EN 
Dividirt man 3. durch 4-4s, und subtrahirt dann 4., so ergiebt sich die 
Gleichung 
. d dx d dy d dr Edu? -- 2 Fdudv -- Gdv? 
E ET tin tras dz ds rg 
; 2 d dx d dy d dz 
Die Grössen de dr NX qr 
der Winkel, welche die Hauptnormale von s in P mit den Achsen bildet; die 
linke Seite ist daher der Cosinus des Winkels zwischen dieser Hauptnormalen 
und der Flächennormalen.  Bezeichnen wir denselben durch 0, und den 
Krümmungsradius der Curve s in P mit o', so folgt aus 5. 
  
  
sind (S8 9, No. 4, 12) die Cosinus 
  
6 6 dr 0 Edu? + 2 Fdudv + G do? 
^ Tdi = + 2/dudv + gdu? 
Die rechte Seite hängt nur von der Lage des Punktes P und von dem Ver- 
hältniss dv: du ab, hat also unverändert denselben Werth für alle Curven s der 
Fläche, welche in P eine gemeinsame Tangente haben. 
Eine auf der Fläche liegende ebene Curve, deren Ebene die Flächennormale 
in P enthält, wird als ein Normalschnitt der Flàche im Punkte P bezeichnet. 
Der Krümmungsradius p des Normalschnittes, der die zu dem Verhältnisse du: dv 
gehôrige Flächentangente berührt, ergiebt sich aus 6. für 0 — 0. Daher ist 
p x p d0s D. 
Hieraus ergiebt sich der Satz: Der Krümmungsradius einer Curve s 
der Fliche in P ist gleich dem Krümmungsradius des durch die 
Tangente von s in P geführten Normalschnitts multiplicirt mit dem 
Cosinus des Neigungswinkels der Ebene dieses Normalschnitts und 
der Hauptnormalen von ;. 
6. Durch Ausrechnung der linken und rechten Seite überzeugt man sich 
leicht von der Identität 
(e -- 2/4 -- g&*) (E -- 2.FZ' -- GE?) 4 (e + 9/2 + 94?) CE -- 2Fk + Gk?) 
' zz2|e-- / (&2- &) -- g££'] LE -- F (&4- &) À- G&£'] -- (eG —27f F-- g E) (&—4. 
Sind e, /, eg die Fundamentalgróssen I. O. und 4, ' die Werthe von dv : du 
für zwei in P sich rechtwinkelig schneidende Curven der Fläche, so ist 
e+ f+ FE) + ght = 0; 
die Identität 1. liefert in diesem Falle 
(e + 2/4 + 84?) (E + 272 + GK?) + (€ + fF + gk'?) (E + 2 Fk + GAY) 
= (eG — 2/F + g E) (k — k')?. 
Hierin sind Æ, Æ G noch ganz beliebige Grôässen; ersetzt man Z, 7, G 
durch e, /, 2g, so erhilt man 
2. (e + 27% + gk?) (e + 2fF + gh'?) = 72 (& — RP. 
Aus dieser Gleichung und der vorigen ergiebt sich 
£ + 2 FR + GR E+2FR + GR? eG — 9f 
  
  
  
FE 
  
   
   
      
     
   
  
       
    
     
         
      
     
     
    
   
   
  
   
      
     
  
  
  
    
  
  
  
   
    
    
    
    
     
Sin 
der linl 
den auf 
mit p u 
3. 
Die 
unabhär 
die Sur 
Norma 
7 
ist nur 
T. 
der gem 
Durch / 
erhalten 
gleiche 
Nabelp 
Punkte ; 
Q 
8. 
Nabelpu 
Vollendi 
wenigste 
haben. 
erhalten, 
bestimm 
wobei 
Die 
Gleichun 
2. 
Da 
der Krür 
reale V 
bestimmt 
Hauptk 
de Ha 
krümmi 
Sind 
3. m 
Hier