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E KG 
8 ro. Krümmung von Flüchen. 479 
Sind nun £, 7, G die Fundamentalgróssen II. O., so sind die Quotienten 
der linken Seite die reciproken Krümmungsradien der beiden Normalschnitte in 
den auf einander senkrechten Richtungen £ und Z'; bezeichnet man diese Radien 
mit p und p', so ist daher 
1 1 eG — 2fF + gk 
9. P? pl m m eU Tr 
Die rechte Seite hängt nur von der Lage des Punktes P ab, ist dagegen 
unabhängig von oder %'. Dies ergiebt: Für jeden Punkt der Fläche ist 
die Summe der Krümmungen zweier sich rechtwinkelig schneidenden 
Normalschnitte constant. 
7. Die Krümmung eines Normalschnitts 
1 E+ QFE + GA? 
Qu ew ATR + 
ist nur dann von £ unabhängig, wenn 
E Fr 6G. 
r 705 
der gemeinsame Werth dieser Quotienten giebt dann zugleich die Krümmung an. 
Durch Auflôsung der beiden Gleichungen 1. werden einzelne Punkte der Fläche 
erhalten, die die Eigenschaft haben, dass alle Normalschnitte in diesen Punkten 
gleiche Krümmung besitzen. Diese Punkte heissen sphärische Punkte oder 
Nabelpunkte. In besonderen Fällen treten auch Nabellinien auf, deren 
Punkte sämmtlich Nabelpunkte sind. 
8. Dreht sich die Normalebene in einem Punkte der Fläche, der nicht 
Nabelpunkt ist, um die Flächennormale, so ändert sich 1 1:p und kehrt nach 
Vollendung der Drehung zum Ausgangswerthe zurück. Daher muss dabei 1: 
wenigstens einmal einen Maximalwerth und einmal einen Minimalwerth lan 
haben. Die Richtungen 4, welche diesen eminenten Werthen entsprechen, werden 
erhalten, wenn man 1:9 nach der Variabeln 4 differenzirt und. die Werthe von 7 
bestimmt, für welche dieser Differentialquotient verschwindet. Man erhàlt 
1 \F+ Gk E+ 2Fk+ GA? | 
=: je Wr ra (aa T CE 
  
  
  
  
t cA ^e 
=. | £25, 
~ i jee (TT rel 4 
wobei N = Sal gh?)2. 
Die gesuchten Werthe von £ sind daher die Wurzeln der quadratischen 
Gleichung 
2. 
   
IG E 2 
ce ZiT len 20, 
Da wir uns überzeugt haben, dass ein Maximalwerth und ein Minimalwerth 
der Krümmung existiren, so folgt, dass diese Gleichung stets zwei verschiedene 
reale Wurzeln hat. Die beiden Normals schnitte, die durch diese Gleichung 
bestimmt sind, heissen die Haupinozmalschnitte, ihre Krümmungen die 
Hauptkrümmungen, ihre Ebenen die Hauptnormalebenen, ihre Tangenten 
die Hauptkrümmungstangenten, und deren Richtungen die Haupt- 
krümmungsrichtungen. 
Sind Æ, und 4, die Wurzeln von 2., so ist 
EF G E ; | FG 
à MR A, = e yl m (R, + Ay) = , |» wobei % = fs 
2% = 0. 
    
  
  
  
  
  
  
Hieraus folgt