480 Differentialrechnung. 
4. e+ fly + ky) + SR, Ra = 0; 
dies ergiebt den Satz: Die Hauptkrümmungsrichtungen sind normal zu 
einander. Sind p, und p, die Hauptkrümmungsradien, so folgt (No. 6, 3) 
1 1 eG — A/F + ££ 
  
  
5 M 
9: pr * by p 
Ersetzt man in No. 6, 2 £ und Z' durch ky und Æ,, so ergiebt sich 
6. (6 + 278, + 47) (€ + 2/%y + ghd) = P 0, — A)? 
Aus 3. folgt ferner für die Hauptkrümmungsrichtungen die Gleichung 
= E+ Fly + Ra) + GRR, = 0. 
Setzt man nun in No. 6, 1 
k=k, E m, e — £, JS =F, g=—G, 
und versteht unter %, # G Hauptgrössen zweiter Ordnung eines Punktes P und 
unter £, und £, die für die Hauptkrümmungsrichtungen geltenden Werthe von 
dv: du, so sind 6. und 7. erfüllt und die Identitit No. 6, 1 liefert 
8. (BEA 2Fk + Gh}) (E + 2 FR, + Gk}) = (GE — #*) (k, — k,)2. 
Dividirt man 8. durch 6., so erhält man 
9 1 EG — F? 
P1 Pa p 
Aus 5. und 9. erkennt man, dass die Hauptkrümmungen die Wurzeln der 
quadratischen Gleichung sind 
1 1 SOR! 
E (G —2fF--gE)- 7 + EG — F2? — 0. 
Um zu entscheiden, welche Wurzel dieser Gleichung zu 4,, welche zu Ra 
gehört, bilden wir die Differenz 
10. £2 . 
1 1 
A = — — —, 
01 Pa 
und erhalten 
i E oD HR de GR? E + 2ER + Ghz 
e+2/% re ES € + 27/4 + gh2 
Hieraus folgt nach Beseitigung der Nenner in Rücksicht auf 6 
E+ 27h + GR E+2Fk, + GR | 
A (A, 
€ 7E 9fA --g4b € HER A e Ag 
ET G E| 7 | 
== (fy) — #2) (2175 xl (6 +) —2|5 5 | AR. 
Führt man rechts für die dac ier T Werthe 3. ein, so erkennt man, 
dass der Klammerinhalt 
     
9222 = | 
  
  
Y | 
[e elg. A 
12 
beträgt, und erhält hieraus für die gesuchte Differenz 
1 | FG | A Ro 
| =; 157 
Ist 4, die kleinere der beiden Gr sta æ, und Æ,, so ist daher p, der 
kleinere oder der gróssere Hauptkrümmungshalbmesser, je nachdem 
Fr— Gf ze. 
9. Bezeichnet 9 den Winkel zwischen der Tangentenrichtung 42 und der 
Haupttangentenrichtung 4,, so ist 90? — $ der Winkel zwischen den Richtungen 
& und £5; die Formel No. 3, 5 liefert 
le +/(k + 2) + g hk, 2 sg TES (Rt by) + gh)? 
cos 2} — — sin? 
(e -- 2/&-- g &?) (e 3- 9/2, HERE) "(eg ECgEy o3, a Ed) 
1 
   
Fü 
und fi 
hat ma 
cos? ÿ 
daher i 
Ad 
schliess. 
also ist 
Die 
krümmct 
richtung 
10. 
Krümm!i 
einen p 
Die Ta 
verschw 
einem c 
dem Sct 
mit ds 
schnitte 
Haben 1 
folgt, da 
auch di 
ebene li 
deren I. 
SCHLOE!