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§ 10. Krümmung von Flächen. 481 
Für die Krümmung 1:o des die Richtung 4 enthaltenden Normalschnitts 
und für die Hauptkrümmungen folgt aus No. 4, 6 
I ZAP 00. 1 BE, GR 
1 E+ 2Fk, + GE? 
€ +27 k +2 h2” 
00 62/4, Eh 
gp e+ IFR Lo oT 
In Folge der Gleichungen 
¢ +f (ky + £5) dL s zz, 
hat man die Reductionen 
  
E+ FR, +Ro) + Gk, k, =0 
  
  
6 + fF EAS) e gh, — (gh) — &), 
6 + fF e ky) m gh, — (gh) — A), 
e+ 27% + gk = (Ag) (æ, — £5), 
e+ 2fky + gh = (f+ gky) (ky — £1); 
£ + 2Fk, + Gk2 = (F + Gh,) (54 — ky), 
E+ 2Fky + GhE = (F+ Ghy) (kg — 2). 
Hiernach erhält man 
  
  
vos? d 42h an (E — £,)? suis = uw Eis. : (€ — 4)? 
eff eh? ET? EA BSR gh? Aa 74? 
LEHRER dl FRC 
daher ist o wA Pa SS Ra) 
aher ist 
cost 8 GR) — 49 (F+ Cha) (A — HA}? 
  
  
  
CE +374 + 47) Ÿ — y) 
ot SL CR Bi AY eA 
(¢ + 2/2 + gk?) : 
Addirt man zum Zähler Z + £F (44 + Ra) + Gk,k, 
P1 Pa 
= (, so erhilt man 
schliesslich 
cos? 8 sin? 4 E+323FR-+- GR? ; 
n 00 e+ Uf hl) 
: 1 cos? 9 sin? 
also ist en ; 
  
x ur 
01 Pa 
Diese Formel lehrt die Krümmung eines Normalschnitts /V aus den Haupt- 
krimmungen und aus den Winkeln zwischen /V und den Hauptkriimmungs- 
richtungen finden. 
10. Rechnet man das Bogenelement einer Raumcurve positiv, so hat der 
Krümmungshalbmesser 
PH 
einen positiven oder negativen Werth, je. nachdem 4« positiv oder negativ ist. 
Die Tangenten in den Endpunkten des Curvenelements 4s bilden ZWel spitze 
verschwindend kleine Winkel vom Arcus dt und zwei stumpfe Winkel, in deren 
einem das Bogenelement ds enthalten ist. Da der Krümmungsmittelpunkt auf 
dem Schnitt der Normalebenen in den Enden von 4; liegt, so folgt, dass derselbe 
mit Zs auf derselben Seite der Tangente liegt. . Die Tangenten aller Normal- 
Schnitte in einem Punkte einer Flüche sind in der Tangentenebene vereint. 
Haben nun die Hauptkrümmungen 1 :p, und 1:p, entgegengesetzte Zeichen, so 
folgt, dass die Curvenelemente ds, und Zs, der Hauptnormalschnitte und daher 
auch die Hauptkrümmungscentra auf entgegengesetzten Seiten der Tangenten- 
ebene liegen. Die Gleichung 
cos? 8 s2n? $ 
— + — 
S | 1 T 
deren Lósungen sind 
ScHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. IL