482 Differentialrechnung. 
1. lang = + V—p, 1p, 
bestimmt dann zwei Normalschnitte von der Kriimmung Null, und fiir diese ist 
im Allgemeinen P ein Wendepunkt. In diesen beiden Nermalschnitten tritt, 
wenn wir uns die Normalebene um die Normale in einer Richtung gedreht denken, 
der Uebergang von positiver zu negativer Krümmung ein; in den Tangenten 
dieser beiden Normalschnitte durchdringt die Fläche in der Umgebung von P 
die Tangentenebene. 
Bei einem einschaligen Hyperboloide und bei einem hyperbelischen Para- 
boloide sind diese Normalschnitte, in welchen das Vorzeichen der Krümmung 
wechselt, die beiden Geraden der Fläche, welche durch den Fláchenpunkt P 
gehen. Die Hauptkrümmungsrichtungen einer Regelfläche zweiten Grades halbiren 
daher in jedem Punkte der Flüche die Winkel der durch diesen Punkt gehenden 
Geraden der Fläche. 
Haben dagegen beide Hauptkrümmungen dasselbe Zeichen, so haben gemäss 
der Formel 
alle Normalschnitte Krümmungen desselben Zeichens; alle von P aus gehenden 
Curvenelemente liegen daher auf derselben Seite der Tangentenebene; in der 
Umgebung von P hat die Fläche ausser P keinen Punkt mit der Tangentenebene 
gemein, und liegt ganz auf einer Seite der Tangentenebene. Dieses Verhalten 
zeigen die nicht geradlinigen Flächen zweiten Grades in allen ihren Punkten. 
11. Eine abwickelbare Fläche ist der Ort der Tangenten ihrer Rückkehr- 
kante (Cuspidalcurve); man kann daher die Coordinaten der Punkte einer solchen 
Fläche darstellen, indem man von den Gleichungen ihrer Rückkehrkante aus- 
geht. Sind dieselben 
x = f, (0), = fa), =r), 
so sind die Gleichungen der Tangente dieser Curve im Punkte P 
§—~7, Le Va e 
JA! La: JF! 
Bezeichnet man den gemeinsamen variabeln Werth dieser Quotienten mit z, 
so erhält man die Coordinaten & n, 5 irgend eines Punktes einer Tangente, d. i. 
also irgend eines Punktes der von diesen Tangenten beschriebenen Flüche durch 
  
die zwei Variabeln z, v ausgedrückt 
  
l. EI + = Ua la C=0f +f 
'  Hieraus ergeben sich die Werthe 
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257797 «A, 2a 0f, de f, sl zo Uf, Ks, 
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