42 Analytische Geometrie. 
     
   
  
   
  
   
  
   
  
  
   
  
  
    
    
    
  
  
  
  
   
   
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
    
   
  
  
  
  
   
   
   
  
   
   
  
  
  
   
Nach 8 5, 18 besteht, wenn P, —0 P,=0, P=0 Gleichungen dreier Ve 
Punkte einer Geraden sind, zwischen den Polynomien 2, Por Peine Identität auf de 
von der Form pP+ 14 P, + paP, #0. Es ist also uP= — p, P, — pa P$, oder P P 
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die Gleichung von P: 
PessyQ P, OI] y PS m 0, 
wenn man — p, :p und — pg : p durch v, und v; bezeichnet. 
  
  
  
  
  
Ist nun P, = M,u + N TQ, P, = Mau + Nov + Q,, Di 
so ist P= (y, M, + vo M3) 4 + (94 N4 + vo V9) 7 + (94 Q1 + vaQ2)- 
Die Coordinaten der Punkte 4, P4 und P sind daher 
ay rien 
1 Og, ^ Qi 2 6^ Ja 0. Se 
und x —— y M, + va M2 _41@1%1 + DID letzte 
XQ, v0s — 19, + vaQ2 diese 1 
Ven OU OS 
ec ae XO. - D: 
Das Theilverhältniss P,P: PP, ist somit: 
9 D y £ ng :Q2 
: PP, ral gleich 
Hat man nun die Gleichungen der Punkte P;, P, aus den Gleichungen der Soral/ 
Punkte P,, 2, nach den Formeln abgeleitet Dopp 
Pen P ou PO, Pium ny, £2, 7c 13 4 — 0, der vi 
so ist das Doppelverhiltniss der vier Punkte nach 1. und 2. In 
3. nno ms vier de 
15” #14 Punkte 
Die beiden Punktpaare 7, 7, und 7, P, heissen harmonisch, wenn 7, 
das’ Doppelverhältniss (P, P, P3 P4) — — 15 es ist dann, wie man sofort durch man d 
Bildung der Doppelverháltnisse sich überzeugt, auch nicht « 
P, p à PR (PL PS PL (Po F, P. P Seiten 
pu AD mA = (P, P, 2 04) = (Py Py Ly Py) D 
ae À jd = (Py Py Py Py) = UP, P, P, P3) die E« 
X PD AUS. Je 
À \ Sind die Gleichungen eines Index 
> Punktpaares A = 0, P, =0, und der S 
P p P, die Gleichungen eines anderen hat. 4 
REN E m M ER 1P, +799, = 0, A =nfP, sich € 
B SEN >. Bor — aon 0 so sind die Paare die P 
> a harmonisch. gemei 
4 Sind zwei Punktpaare harmonisch, lich « 
xe so theilt jedes Paar die Strecke des As 
{> andern innen und aussen in numerisch die di 
(M. 368.) gleichem Verhältnisse, denn aus Punkt 
DP. D 1 Seiten 
Pl Pi P a und 1 
folgt: PP. LA B umm (PPS P Pa) Vierse 
Zu drei Punkten Z,, P,, P, einer ‚Geraden kann man den vierten die d 
harmonischen finden, indem man durch 2, und 7, zwei Parallele P4 und vollst: 
P,B zieht, CA = 45 macht, und hierauf durch A eine Parallele zu CP, zieht; welch 
diese schneidet P,P, in dem gesuchten Punkte P,. Denn man hat seits : 
PoP, PP, = PA AB=PACA=—PAIAC=— PP; AP,