3) (n—)) 
1) 
É TES 8): = 0 , 
nachdem der- 
vel realen zu- 
vird, hat die 
de, oder zwei 
sRückkehr- 
l. 
n Differential- 
ie Tangenten 
— 3) 
rrennte, reale 
inkt, Rück- 
tialquotienten 
Doppelpunkt 
den beiden 
— 2) 
- g) 
Mantellinien. 
en, so gehen 
kt ist daher 
kt auf, wenn 
  
§ 15. Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 539 
Die Gleichungen No. 17, 8. und 9 sind daher 
L 2cosf-v + 2cosq-2 — O, 32 2050 + x + See. — A47) = 0, 
Sie werden identisch für x — 3 = 0; für diese Werthe haben / = 0 und /= 0 
  
    
die gemeinsame Wurzel y — A; die Cylinder haben uh den Punkt x — 
y = A gemein und in diesem Punkte eine gemeinsame Tangentenebene, die des 
XZ-Ebene parallel ist. Für x — z — 0, y — A gehen die Gleichungen 1. und 
9. über in 
cost RZ 0, 2058-7 — 0; 
daher ist y =v, 4% = KK. 
Ferner ergeben sich die Differentialquotienten 
on y 02 f orf 02 f 
> 
. nD 
[^w 
5 = 0 = 0, = =2 = 0, 4 =2; 
0x? !  0x0y > oy? UF 50682 2 
02F ) Q2F 0 02 F 0 02 A ) 0? # 0 02 F a 
ES day TOR BETA Ws CU 0:8 0 
Daher werden die Gleichungen No. 17, 19. und 13 
RE (H—n(a—RK? r0, n-— A9. 
Hieraus folgen die Gleichungen der Verticalprojectionen der Doppelpunkts- 
tangenten 
ARI? —0 0. 
Für die Abscisse € = 7 folgt die Ordinate € = = VD 7, wonach die Tangen- 
ten leicht construirt werden können RS 
RE x2 y? 22 
19. Das Ellipsoid f mm mm ct E uem 1] 0 
und die Kugel F = x + y? + 22? — 9(ce— r»)z Bc? —2ek-—0 
haben den Punkt C mit den Coordinaten 0, 0, c gemein und berühren sich in 
diesem Punkte. Man hat 
0 X. 2x of 2y Of AB, 
ox a?’ ey 62’ Bz: 197 
OK or 0 L m 
= 2x, a = 2y a = 2(2 — CH 735 
ox oy 02 
0? f 9 02f 9 02 f 9 
0x2 77 427 0902 — 527 825 — 33 
02 F 02 F 02 F 
Ae 9 mue 9 — 9 
0x2 ? Ó y? ? 03° 
Die übrigen partialen Differentialquotienten zweiter Ordnung sind gleich 
Null. Die Gleichungen No. 17, 8, 9 werden für C 
2 
cosy = 0, yk cosy — 0, 
Daher ist m=, % = | :r: die rel eichungen 12 und 13 sind 
€ 1 £92 C 1 mn 2 > og Ln ) 7 fC mpm 0 
BE RG) An 
Hieraus ergiebt sich die Gleichung de opinion 
( S unl ) ( 6 155 0 
— — 4 |. — — — N“ — : 
a? y Ï p? 7 | 
Vird das geometrische Mittel aus c und 7 mit d bezeichnet, und ist a > à, 
so sind die beiden 
x 
l'angenten 
real und verschieden, wenn a > d > à, 
real und vereint, i a. ==d oder b= 4, 
imaginär, » qe 54. 
*) Vergl. ScHLoEMILCH, Handbuch der Math., 1. Bd., Darstellende Geometrie 8 8, No. I4.