Differentialrechnung. 
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bmartl = 0, 
und daher 
l1+2x+22 +28 + 2t + .... = Dl 
Diese Reihe wird als die geometrische Reihe bezeichnet. 
B. Um über die Reihe zu entscheiden (veigl. 39, No. 7, 3) 
1 + 2x +— 3x2 + 42% + 3x 4- 6x5 -4- ..... 
betrachte man 
$, — 1 + 2x + 3x2 + 443 4... + nan—1, | 
Man hat | 
$4 mm l-dx-x?-Bx9-...4-a"3» -ox-4-93x*?4-..-4-(»—1)a 
m lo ae (Ss — nx"—). | 
  
1 
Hieraus folgt 
] — (2 + 1) a” -F nan l 1 1 | 
Sy = = - MP T WI A X" — — Mar, | 
(1 — x)? x)? (1 — x)? 1 — x | 
Die Grósse zx" wird für ein X t ch grosses z selbst unendlich, sobald 
der absolute Werth von x — 1 oder > 1 ist; wenn x ein echter Bruch ist, so 
giebt es immer eine Zahl ;z, für welche 
1 1 
L+ = - 
go x 
| 1 ; D ; 
so dass also ( 1 4- — )x ein echter Bruch ist, den wir mit e bezeichnen wollen; 
7 | 
bezeichnen wir ferner die endliche Zahl zx* mit A, so ist 
1 1 
(m + 1) x"cti — m ( == 3 xl = za ES ) x = de 
m m 
EI 
(4 9) xm+2 — 5 xri c cdd € 
(m + 2) x (m + 1)x (1 + EE +)» also Aes 
1 
(m E 3) X73 = (m = 2) x Xu (1 E 27 ^ j^ Iso — Az? ; 
Folglich bilden die Grössen 
mx", (m+ 1x71, (m--2)x"t2, (m + 3) amt3, 
eine abnehmende Reihe, die stärker fällt als die Reihe 
Jo, . «et, dss, Ast, 
Da nun e ein echter Bruch ist, so ist für ein unendlich grosses z und einen 
gegebenen Werth von zz 
lim Aen—m = 0, 
also um so mehr 
Zmnx" x 0. 
Die unendliche Reihe 
1 + 2x + - 4x? -- 5x* + 
convergirt daher für alle echt gebrochenen X; es ist 
; 1 
1 + 2x + 3x2 + 4x3 +... = 9.) mel << % < |. 
(1 — x)? 
4. Die endliche Reihe®) 
ß 8-1 BB + 1) a6 r0 m 
b gud. (a A Dio + 2) ir + (a + D(a 4 - "EY rs om] 
lässt sich summiren, indem man von der identischen Gleichung Gebrauch macht 
*) Vergl u. A. ScHLoEMILCH, Compendium der hóhern Analysis, r. Bd. 
; 8 36. 
  
   
  
    
   
    
       
    
   
   
   
      
       
   
    
      
    
    
  
    
  
  
    
    
     
      
      
   
  
81 
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8.