560 Differentialrechnung. 
Hieraus findet man schliesslich ebenfalls auf 7 Stellen genau 
= — 0392699 1. 
n 
8 
Um dieselbe Genauigkeit durch direkte Summation der Glieder der gege- 
benen unendlichen Reihe zu erlangen, hätte man so viel Glieder zusammen- 
nehmen müssen, bis man 1 : (47 — 3)(42 — 1) kleiner als 10—7, also (42 — 3) 
(42 — 1) grósser als 107 erhalten hátte; bei dem Gliede 
1 1 
3001-3003 7 (4.751 — 3 4-531 — DD 
wäre dies noch nicht erreicht worden; man hätte also mehr als 750 Glieder 
berechnen müssen, um zu dem Ziele zu gelangen, das wir durch eine nicht um- 
stäindliche Rechnung nach Kummrr’s Methode erreicht haben. 
20. Methode der unbestimmten Coefficienten. Wenn man nach- 
weisen kann, dass eine Function f(x) innerhalb gewisser Grenzen für die Variable 
X sich in eine Potenzreihe 
1. Six) = Ay+ Ayx + Ag x? + As x3 + 
entwickeln lässt, die Anwendung des TAYLOR’schen Satzes aber wegen der mehr- 
fachen Differentiationen ungeeignet erscheint, so kann man durch geschickte 
Benutzung der Besonderheiten von f(x) oft eine Reihe von linearen Gleichungen 
aufstellen, aus denen sich 4, Ay, Ay, A; . . ergeben. Man kommt dann da- 
zu, eine beliebige Anzahl der Coefficienten von 4 kennen zu lernen; lässt sich 
der Fortgang der Rechnung mit Sicherheit übersehen, so kann man auch das 
allgemeine Glied finden, während man im Gegenfalle es dabei bewenden lassen 
muss, jeden einzelnen Coefficienten zu ermitteln. 
Geht man von der Voraussetzung aus, dass tangx fiir die zwischen — 1 
oT 
2 
und -- lx liegenden x, für welche kein Differentialquotient von Zangx unendlich 
gross wird, in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, 
langx = À, + A,x% + A,x? + As x3 + 
x 
so ist zunächst sicher, dass A, = 0 ist, da fengx mit x zugleich verschwindet. 
Da ferner x und /ezgx zugleich das Vorzeichen wechseln, so erkennt man, dass 
A, T 4, Bee A, u N = As, = o. 
Die Reihenentwicklung beschränkt sich daher auf die Glieder mit ungeraden 
Exponenten, 
mes — À x + A; 2% + 4.2% + A, x! + 
Benutzt man die Gleichung 
SEA == Jang COS X, 
und setzt für szzx und cesx die früher gefundenen unendlichen Reihen ein, so 
erhält man 
x3 And x7 x” 
(+ TS TNR ) 
: x? a ae 
= (4,5 + 444% + 4,05 + . OL — ire =. ZA 
Or RK 
21 4 8! 
Führt man links die Multiplication aus und vergleicht beiderseits die-Coef- 
ficienten gleich hoher Potenzen von «x, so erhilt man zur Bestimmung der 4 die 
Gleichungen 
A 1 
dic, da Bla, 
d. pus 
RIT 
  
   
      
   
    
   
     
         
    
      
  
    
   
    
   
  
   
    
  
   
   
  
    
    
  
   
    
    
     
  
Hier 
Ueb 
erhält m 
Aus 
kann ma 
die zwisc 
Potenzen 
liche Rei 
darsteller 
in folgen 
so entste 
Hier 
Aon+2 Em 
Dah: 
(arc sin 
Z wis 
SCHLOEM