Unendliche Produkte. 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
2 Ÿ ) ( ; 
Sin? — sin? — sint — sin? 
x u | u 
| 4. cos x - COS —  |l— ——— ——— ] — — 1 + 
| TC : T 5x T 
Spa Sms sini = SiR 
2 2 2 9 
Das Produkt 
Ne f s a m2) 
sin? — siga — 
A,-—]11—- —;-——|ll— —z——— 
" n+] . 497 4- 8 
sim reg sim => KT 
| 2y. 20. J 
| 2 a s 2--1 
| enthält lauter echt gebrochene Faktoren, sobald man voraussetzt, dass x < USE 
ist; daher hat man 
9. 2, < 1. 
Ferner ist 
f x 
Siné = sin? 
Rz il * + 
a 22 4-1 „2 +3 : 
$5. uk | SUR 
2y J 
yo 
92 4:9 sin? — 
6 Ru SU = — 
2 22 + 1 
jE os T 
Nun ist für x = ou 
c 29093. Ope] A. yg he] x 
(M — 22 4-9). sin — : sin? ——— x = (pn — Qn + 2) sin? — : sin? ——— . — 
| u 2p pn 2n p 
| . . ee . . . . * 
| Produkt | folglich hat diese Grösse für ein unendlich grosses z die Null zur Grenze. Aus 
| 5. und 6. folgt nul 
mk, = |. E 
k ist Geht man nun auch in 4. zur Grenze für p = oo über, so erhält man | 
rkung is : 
ad = ] 4x? 4x? 4 x? 4 x2 
cera ‘oS x = es i etu En En — 
geraden p Tse xi El Tne 20 7? 
Lu Ersetzt man x durch 4x, so entsteht 
1. x? x? x? x? 
cos$x = {1 — = 1 — 972 1 -— 9512 J 4942 
lie rechte Beide Entwicklungen sind für jedes endliche x gültig. 
| Die unendlichen Produkte für szzx und cesx ergeben durch Division 
t 2 2 3 22 | i i 
fre) (1 = =) (1 > =) (1 = a) (1 " ess] uet P 
Gem + 4x? 42" 4x? 4x? ; mi 
(1 = E (1 7 e) (1 ass) (1 a 1) fu | 
3. Wir schliessen hieran folgende für die einfachsten Fälle ausreichenden 
  
Bemerkungen über die Convergenz und Divergenz unendlicher Produkte*): 
Wenn die Glieder der unendlichen Reihe 
Ur + €. + Us + U, 
positiv und kleiner als Eins sind, und die Reihe convergirt, so con- 
vergiren auch die unendlichen Produkte 
P = (1 —4#)(@ —#3) (1 —#,)@ —#,).... 
  
  
© 
ug 
oO 
= 
     
*) WEIERSTRAss, Ueber die analyt. Facultiten, CRELLE's Journal, Bd. 51. 1856.