574 Integralrechnung.
Wenn aber bei einer endlichen Anzahl von Grössen v jede einzelne ver-
schwindet, so verschwindet auch ihre Summe, also ist
Bm (9, + vy + 9; + .. + 0; p em,
und wir erhalten somit die allgemein s litige Gleichung
o
2—1
lim > fla + kè)à,
oder
^ 31—1 :
8. [ dx = lim NV fi -- £0)0 + Const.
0
Eine Veränderung innerhalb der anfangs angegebenen Schranken der will-
kürlichen Grösse a hat, wie die Figur sofort zeigt, den KErfolg, dass die Fliche #
um einen von x unabhängigen Betrag zu- oder abnimmt; und diesen kann man
dann in 8. mit der willkürlichen Constanten vereinigt t denke
72 —1
Den particularen Werth Jim V f (a + £6)0 nennen wir das zwischen
1 0
den Grenzen a und x genommene bestimmte Integral von /(x)Zx und
x
bezeichnen es mit JF) dx. Es gilt also die definirende Gleichung
a
Ius i if * 2-1
NI TO dx Um > Ja + %8) 8.
Í e 0
a
Fügt man rechts zur Vereinfa ichung der Summenformel den verschwindenden
Summanden /(a -4- 22) à bino So erhält man
9. n ) dx = lim Y fa e 198.
Die vorigen B etrachtungen zeigen, wie dasselbe angenühert bestimmt werden
kann. Berechnet man für jeden der Theile Fy, Fy .. F; gemäss der Formeln
2. und 5. die Grössen
IO m VACA) 3,
Wobei c und 4 die kleinste und die grósste Abscisse irgend eines dieser Theile
iia bezeichnen, so gewinnt man zugleich ein Urtheil über die Genauigkeit des ange-
IET nüherten Resultats, sowie eine Auskunft dafür, wie klein 2 gewáühlt werden muss,
1 damit der Fehler einen gegebenen Betrag nicht übersteigt.
Hd In den folgenden Abschnitten werden wir uns zunüchst mit solchen Integralen
beschäftigen, die auf die bisher bekannten Functionen führen.
S 2. Integral eines Polynoms und eines Produkts. Einführung einer
neuen Variabeln.
l. Aus der Gleichung
d(u, 4 Wo + Uy + i m du, + du, + du, + .. + du,
gewinnt man durch Integration
| if i | J (du, + dus + dug + .. + dus) == uy + ug + uy + .. + Un + Const.
i 1n Hierfür kann man setzen
VERO UT Sdn, + du, + du, ++ dun) = J du, + ) du, + fdus +
Daher der Satz: Ein Polynom wird integrirt, indem man jedes
einzelne Glied integrirt.
Durch Anwendung dieses Satzes ergiebt sich z. B.
8.2.
ergiebt «
Eir
Integra
zu mul
Differe
Hie
/ adx
fes
folgt
hieraus ;
Hie
oder leic
diese Re
