Integralrechnung. 
ios dx ? 1 1 x4 = 3x + 9x2 E 97x SEE 81 T 
S Jx«5(x-—3)7]9431—8 — x5 dx 
1. | 3 9 9 81 
Wie man sieht, gelingt in allen diesen Fällen die Integration dadurch, dass 
man die gebrochene Function in ein Polynom von Brüchen auflöst, deren Nenner 
lineare Functionen von x oder (Beispiel 7. und 8.) Potenzen linearer Functionen 
sind; die Zähler sind in dem ersten Falle constant, im letzteren von minderem 
Grade als der Nenner; nur die Beispiele 3. und 5. machen eine Ausnahme, bei 
ihnen treten nur Nenner von der Form z? + a auf, wobei a positiv ist. Umge- 
kehrt sieht man, dass die Integration echt gebrochener Functionen durchführbar 
wáre, wenn es gelünge, jede solche Function in der hier angegebenen Weise in 
Partialbrüche zu zerlegen, d. i. in ein Polynom echt gebrochener Functionen, 
deren Nenner linear, oder quadratisch, oder Potenzen einer linearen oder qua- 
dratischen Function sind. Wir werden nun zeigen, wie diese Zerlegung in jedem 
  
Jon 
Falle durchgefiihrt werden kann. 
2. Es seien ¢(x) und ¢(x) zwei ganze Functionen und zwar e(x) vom zten, 
¢(x) von niederem Grade. Man zerlege die Function @(x) in ihre linearen 
Faktoren; dies erfolgt bekanntlich durch Auflósung der Gleichung 
e(x) = 0, 
Sind -%,, t £, die Wurzeln dieser Gleichung, und ist @ der Coefficient 
von x” In g(x), so ist dann 
qe) = aa —i)@— 5)... (@— kb). 
Wir setzen nun zunächst voraus, dass sämmtliche & von einander verschieden 
sind, und suchen die Zahlen d As; 4, so zu bestimmen, dass 
vx) A, A ood, A, 
1 2 3 
ES AN ET. 
MA E. XxX Es x t 
29 
9a) x—i, 
Durch Multiplication mit e(x) erhült man hieraus 
$x) = 4, m = ds 2 + . - + À x 
Ersetzt man in dieser Identität für x den besonderen Werth fp SO Yel 
schwinden rechts alle Glieder vom zweiten an, da die Gróssen 
"qe oce o om 
Q—í'€.—1n' ut 
alle den Faktor x — £, enthalten. Für die Grósse ¢(x): (x — E,) verschwinden 
Zühler und Nenner, der Werth dieses Quotienten wird daher qe (5) (Diff.-Rechn., 
§ 12). Somit gewinnt man 
  
  
UT = 4, e (5); 
und hieraus ergiebt sich der gesuchte Zähler A, zu 
(61) 
  
  
2. Ad: 
e (51) 
In gleicher Weise folgt allgemein 
: IC 
3. d; — JA 
Sind nun sámmtliche & real, so sind auch alle À real und man erhält, wenn 
man die À in 1. einsetzt und integrirt 
vx) A $C) is *( 
5 dx = TE —t) + 522 )x —§,) +. + 12 
1 Jr" su ( 
  
  
    
  
  
  
  
  
  
   
    
  
     
      
   
     
  
  
   
    
      
    
  
   
  
    
   
   
   
    
  
  
    
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9. 
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*) Di 
zur Lósung