id C vereint
r Gleichung
beilegt, für
und erhalten
dA
ER
C ez 0, also
nd man hat
x? = 1.
1ckeln und
1, so dient
Reihe zu
x? «4
. + €.
ue Reihen-
x2 <1,
Reihen be-
8 6. Integration durch unendliche Reihen. 601
steht darin, dass man durch dieselben in den Stand gesetzt ist, ein irreductibles
Integral Jf) dx in eine Potenzreihe zu entwickeln, sobald die Function f(x)
dieser Entwicklung fähig ist.
Aus der für alle Werthe von x gültigen Entwicklung
X x2 x3 xt
enlace rT ETT Mr
folgt, ebenfalls fiir alle Werthe von x
e 1 x a? x3
RT 153" ne
Die Function e”:x ist für alle endlichen von Null verschiedenen Werthe
von x endlich und wird nur unendlich gross fiir x = 0. Schliessen wir diesen
Werth aus, so ist für jedes endliche positive x
e 1. «2 1 x’ 1 xt
— == mr RU I" dtes vm ET .. + C.
fes m SULSTIUT$UA put
Ist x negativ, so setze man x = — y; dann erhált man
2 3 4
me um d Wu. uz J E
rrr TTT RE
Daher ist
er £7 1 y 2 1 y 3 1 pt
sedan dy YA,
fe f A CR 1
Ersetzt man nun hier wieder y durch — x, so findet man für negative
Werthe von x
ex ] a? 1 x3 1 xt
e m um fox IN Le SLE ne te Gg
Mr si ek TR ITIL TIT
9. Für alle endlichen x gilt die Reihe
X
x? x5 x
Es 5 m-LIS LS YI uut:
Daher ist auch unbeschränkt
san x? x^ «t
RT TTS I 3
und mithin
Sin x 1 x3 1 xd 1 x7
TS a LEE CG
6. Bei dem Integrale
/ A x
m X
muss x wegen /(1 + x) grosser als — 1 sein. Ist nun — 1 « x « +1, so
hat man
x P a
(l--x)—x—— "T T+
Daher ist
(1 + x) x? x? br
[23 dx = X — 33 + zz — 43 +... + C
+ 1«<x<+1.
Ist x > 1, so benutze man
1 1 1
/ x) = E 2] — e
(1 + x) Ix + (ra ]) Ix x
Da nun
| 1 1. 1l] 1
N
|
2: