56 Analytische Geometrie.
jectivität (1) zu 6(tango — tange') = 0, und liefert für je zwei entsprechende
Strahlen /azge — /ango', d. i. je zwei entsprechende Strahlen bilden mit zwei
festen entsprechenden Strahlen gleiche Winkel, die Büschel sind also congruent.
19. Wenn zwei projective Punktreihen denselben Tráüger haben, (d. i. auf
derselben Geraden liegen), so fragt es sich, ob und wie oft es sich ereignet,
dass zwei entsprechende Punkte zusammenfallen.
Da ein Doppelverhältniss sich nicht ändert, wenn alle vier darin auftretende
Strecken das Zeichen wechseln, so kann man den positiven Sinn einer Punkt-
reihe nach Bedarf wechseln, ohne ihre projective Beziehung zu einer anderen
Punktreihe zu stóren. ‚Wir können daher unbeschadet der Allgemeinheit an-
nehmen, dass bei zwei auf einander liegenden projectiven Punktreihen die posi-
tiven Richtungen übereinstimmen.
Wir bestimmen zunächst die Gegenpunkte &@ und X. Hierzu, wie auch zur
Ergänzung der Punktreihen kann folgendes Verfahren angewandt werden:
Sind 27e 4 D. P. so ziehe man durch Z, eine Gerade Z und
mache 2,0, = PP Qc DIIS de Punkiroihen 2, FP, und P, 0.0;
sind perspec-
0. tiv_ (No. 13
> und der
Schnittpunkt
À der Gera-
den PO, und
A / T / DS. ict 312»
ee s. # / 2,00, 1st ihr
a =~ Nu / gemeinsames
fo N 0.1 / e pis
P N 2 / Projections-
/ / | \ p \ / m 1
/ | | \ uil EE centrum. Zieht
| | | \ a i / 47
m A o— GRE eat a À Ti pb Oi man nun A G
37 7 p! ; MN D? x. p 7 a fad pn} : ;
4 44 Le FH M Ms t I, PB 75/6 13 parallel B, so
, PO Tr ;
QN | 7 entspricht G
AS A ;
dem —unend-
e mr lich fernen
Pit 7 #
p. vod Punkte auf A,
= (M. 382.) also auch dem
unendlich
fernen. der Reihe 2,5, 7 zieht man ferner 47 parallel 7 2, so tnfit A)
die Gerade 7,7; in einem unendlich fernen Punkte, / ist also der Punkt der
Reihe 5, welcher dem .unendlich fernen Punkte der Reihe 7,7, ZA entspricht;
macht man nun 47^'77 — 7, so ist FH der Gegenpunkt der Reihe PP, P, P.
Nach No. i7 hat man für je zwei entsprechende Punkte
J ]
1. GP HP = GP» HEB, “oder
GLPIGP: Gh) = GP, HE.
Ist nun II ein Doppelpunkt beider projectiven Reihen, d. 1. ein Punkt,
der mit dem ihm entsprechenden zusammenfällt, so gilt für denselben die Gleichung:
GUGÜ— GH) = GP, - HP,', woraus folgt
\ 1 {> e
2. (Gl — 4G Z7)? = GP, - HP, + 1GH?.
Ist M die Mitte von GZ, so ist GM = MH = + GH, ist femer P
Punkt der Reihe 2,57... , welcher dem Punkte. 77, als Punkt der Reihe
P,P, P, betrachtet, entspricht (man findet P, indem man MA zieht und
der
FUP =
man hat
3.
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4.
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