58 Analytische Geometrie. 
involutorisch liegenden Strahlenbüscheln und erkennt, dass die involuto- 
rische Lage zweier Strahlenbüschel eintritt, wenn zwei nicht ent- 
sprechende Gegenstrahlen zusammenfallen. 
Mit quadratischen Involutionen werden wir uns im nächsten Abschnitt von 
einem andern Gesichtspunkte ausgehend beschäftigen. 
8 7. Die quadratische Punkt- und Strahleninvolution. 
1. Denkt man sich die ‚Punkte einer Punktreihe einzeln, unabhängig von 
einander, so ist über die Punktreihe nichts geometrisch zu bemerken. Ein 
geometrisches Interesse entsteht erst, indem man zwei solche Punktreihen zu 
einander in (z. B. projective) Beziehung setzt, indem man jedem Punkte der einen 
Reihe einen oder mehrere bestimmte Punkte der anderen zuordnet. 
Man kann nun aber die Punkte einer Geraden auch nach bestimmten 
Methoden zu zweien (oder dreien etc.) in Gruppen vereinigen; dann wird diese 
Einordnung in Gruppen einen Gegenstand für geometrische Untersuchungen 
bilden kónnen. 
Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P der Geraden von 
einem festen Nullpunkte Q mit A, so kann man die z Werthe von A, welche den 
Punkten einer zpunktigen Gruppe zugehóren, als die Wurzeln einer Gleichung 
nten Grades ansehen 
1. M, == a, Ae + Q4 AL + | a, A+ a, = 0. 
Die Werthe A fiir die Punkte einer zweiten Gruppe seien die Wurzeln der 
Gleichung 
2. My = bh + oy +... + uA + b, = 0. 
Dann kann man mit Hülfe zweier realer Zahlen 7, und 7, die Gleichung 
mten Grades in A bilden 
9. 7, M, + r9, M3 = 0. 
Durch diese Gleichung ist eine neue Gruppe von z Punkten definirt. Um 
o gehórt, hat man den 
zugehörigen Werth A, in 3. einzusetzen und dann das Verhàáltniss 7, und 7, zu 
bestimmen. Bezeichnet man die Werthe, welche die Polynome MX, und 44, 
annehmen, wenn man statt A darin den bestimmten Werth A, setzt, mit 47, , und 
M5, so entsteht 7», M,, + 79 Map — 0, also folgt für das Verhältniss 7, : 7, 
die Gruppen zu erhalten, zu denen ein bestimmter Punkt P 
ein eindeutig bestimmter Werth; man kann nehmen 7, = 4M,,, 79 = — M,,. 
Bei dieser Art der Gruppenbildung gehórt also jeder Punkt der Geraden nur zu 
einer Gruppe, und wenn man das Verhältniss z, : », die reale Zahlenreihe durch 
laufen lässt, so erhält man durch die Gleichung 3. alle Gruppen auf der Geraden. 
Eine Punktreihe, deren Punkte in dieser Weise in Gruppen von je z Punkte: 
geordnet sind, nennt man eine Involution zten Grades. 
Aus dem soeben Mitgetheilten hat man den Satz: 
Wenn zwei Gruppen einer Involution zten Grades gegeben sind, 
so sind auch alle anderen Gruppen bestimmt. 
Gleichlautendes kann man über Strahlbüschel bemerken. 
Bezeichnet man mit ¢ den Winkel eines Strahles mit einem festen Nullstrahle, 
so lassen sich die Strahlen einer zstrahligen Gruppe durch eine Gleichung 
nten Grades definiren: 
4. M, = aytang"o + a, fang"—\e + ... + An-ılang® + a, = 0. 
Eine zweite Gruppe werde definirt durch die Gleichung 
M, = b'ang"e + by tang" lo + ... + Ön-ılang © + 5, = 0. 
     
  
  
   
  
   
  
   
    
  
  
  
  
   
   
  
   
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
   
    
    
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