die involuto- 
ei nicht ent- 
1i Abschnitt von 
Hon. 
mnabhängig von 
)emerken. Ein 
Punktreihen zu 
'unkte der einen 
let. 
ich. bestimmten 
lann wird diese 
Untersuchungen 
vr Geraden von 
| A, welche den 
einer Gleichung 
lie Wurzeln der 
). 
die Gleichung 
n definirt. Um 
rt, hat man den 
s, und, zü 
e M, und M, 
t, mit M,, und 
rhältniss 7, : 79 
Vo == — 4210" 
Geraden nur zu 
hlenreihe durch 
uf der Geraden 
mn je z Punkte: 
'egeben sind, 
sten Nullstrahle 
eine Gleichung 
a = 0. 
bn == 0. 
  
8 7. Die quadratische Punkt- und Strahleninvolution. 59 
Dann kann man durch geeignete Wahl der Zahlen 7, und 7, mittelst der Formel 
6. ) 7, M, + r9, M, = 0 
beliebige neue Gruppen erzeugen. Ein Büschel, dessen Strahlen so in zstrahlige 
Gruppen geordnet sind, heisst eine Strahleninvolution zten Grades. 
9. Wir beschrünken uns auf Punkt- und Strahleninvolutionen zweiten 
Grades. 
Bei quadratischen Punktinvolutionen sind JM, und M, quadratische Functionen 
von À M, = ad? + 20, 4 + a,, My = 641? + 25, \ + by, 
bei quadratischen Strahleninvolutionen ist 
M, = a,tang?¢ + 2a, tango + ay, My, = by rang? + 20, tango + by 
3. Wir fragen zunächst nach dem Punkte einer quadratischen Punktinvolution, 
der mit dem unendlich fernen Punkte der Geraden zusammen ein Paar bildet. 
Wir haben dazu das Verhältniss 7, : 7, so zu wählen, dass die Gleichung 
1. 7, M, + 72 Ma = 0 
eine unendlich grosse Wurzel hat. Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung 
al? + 28) + y = 0 sind bekanntlich 
ß Who 
opp ua mip Lt. 
A= b 1 g? 
Entwickelt man den irrationalen Theil so findet man 
V. ay 1 v1 ] «^ ] a 
be ml RTS qm 
Die folgenden a ge enthalten hóhere Potenzen von «, als die dritte. 
Hieraus ergiebt sich für die Wurzeln der quadratischen Gleichung 
  
  
  
bo B ru loo dul. ue 
qo + à $7 S 9:16. Qs "m 
, 1 Y 1 ay? 
Oder einzeln à zz —— + — — 
e 2 s ji 
= 28 1 "y 1 uv? 
Ao 5 d à . 3 —+ 8 » 33 
Eine dieser Wurzeln, A", wird unendlich gross, wenn « — 0; die andere 
nimmt dann den Werth (— 4) : 28 an. 
Soll also die Gleichung 1. eine unendlich grosse Wurzel haben, so muss der 
Coefficient von A? verschwinden, d. i. es muss die Gleichung gelten 
9. 71% + rab, = O, 
aus welcher, da es nur auf das Verhältniss von 7, : 7, ankommt, die Werthe 
gezogen werden kônnen Zy == Bay Fa = — d. 
Durch Benutzung dieser Werthe reducirt sich 1. auf die lineare Gleichung: 
3. 2(a,09 — Aagb61) X 4- (45069 — A962) = ©, 
aus welcher hervorgeht 
4. X mu Tals a2%0 
3(ay, — a40,): 
Der durch diesen Werth bestimmte Punkt heisst der Centralpunkt der 
Involution, und soll mit O bezeichnet werden. Wáhlt man den Centralpunkt 
zum Nullpunkte (statt des beliebigen Nullpunktes Q), so müssen die Coefficienten 
in 1. und 2. so beschaffen sein, dass der in 4. gegebene Werth von A ver- 
schwindet. Dazu ist nothwendig, dass «, : 6, = 44: 2,; unbeschadet der All 
gemeinheit kann man setzen 2, — 00, a, = ^,. Daher lauten die Gleichungen 
1, 2. 3. jetzt: M== aygi? +2a,)-+ à, = 0, M, = a,1? + 25, à) + 44 = 0, 
MS (7, +72)@ M? + 267104 + 7201) À + (1 +72)09 = 0.