Analytische Geometrie. 
Bezeichnet man die Wurzeln von M= 0 mit N und X", so wird 
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Hieraus folgt der Satzı Das Produkt der Abstände der beiden 
Punkte jedes Paares einer quadratischen Punktinvolution vom Central- 
punkte 1st constant. 
Je nachdem der Quotient a,:«, positiv oder negativ ist, liegen je zwei 
Punkte eines Paares auf derselben Seite des Centralpunktes oder nicht. 
Der Vergleich der Formel 5. mit 8 6, No. 21 lehrt, dass die dort gegebene 
Definition der quadratischen Involution mit der aus einem allgemeineren Gesichts- 
punkte in diesem Abschnitte aufgestellten gleichbedeutend ist. 
4. Wir fragen nun nach solchen Punktpaaren einer Involution zweiten 
Grades, deren Punkte vereinigt liegen (in einen Punkt zusammenfallen). 
Dies kann offenbar nur dann eintreten, wenn die Punkte jedes Paares auf 
derselben Seite des Centrums O liegen, wenn also das constante Produkt O.P - O P' 
(die Potenz der Involution) positiv ist. Bezeichnet A den Abstand eines aus 
zwei zusammenfallenden Punkten bestehenden Paares vom Centrum, so bestimmt 
sich À nach 5. der vorigen Nummer aus 3? — OF. OP. 
Ist also die Potenz einer quadratischen Involution positiv, so 
giebt es zwei Paare, deren Punkte vereinigt liegen; diese Paare liegen 
symmetrisch zum Centrum; man bezeichnet sie als die Asymptotenpunkte 
der Involution. 
  
5 pepe Sind Zund /#, die Asymptotenpunkte, O das Centrum, 
: LOS) P und P' ein Punktpaar einer quadratischen Involution, 
ci so ist also OF2 =0F2=0P-0OPFP, F,0=0PF. 
Nun ist 1. PF, = PO— FO, 3. PF = P0+ OF, 
à FF F)4OP. à FF = FO PO. 
Durch Multiplication der Formeln 1. und 2., sowie 3. und 4. folgt 
3 PP FP = PO.OP F0-FO-r.FPO-FO —OPm-.FOo, 
6. DE.FP-—PO PO +0F-F,0 + PO-FO—0OF +20. 
Da nun POOP = FO: OF = FO 7,0, so folgt 
PE) FP =O - FO —OP.FO, 
PEVFEP PO. FO-—Orz-PO. 
Ferner ist PO - FO — OP. F,0 = — (PO - F,O— P'O - OP), 
Also ist PF, -FP=—— PF-F,P, oder PF:FP=—PF,1F,P. 
Dies ergiebt den Satz: Je zwei Punkte eines Paares einer quadra- 
tischen Involution mit positiver Potenz liegen harmonisch zu den 
Asymptoten der Involution. 
5 Die Formel 07: 07 — OP OP, lehrt cine Involution zu 
ergänzen, d. i. aus zwei gegebenen Punktpaaren einer quadratischen Involution 
das Centrum der Involution und den zu jedem Punkte der Geraden zugehôrigen 
Punkt zu bestimmen. 
Construiren wir die beiden Kreise, die durch einen beliebig gewählten 
Punkt 4 und durch die Punkte je eines der beiden gegebenen Paare P,P,', 
P,P," bestimmt sind, so schneiden diese sich noch in einem Punkte 5 (der im 
Falle der Berührung der beiden Kreise als unendlich nahe bei A anzusehen 
wäre). Die Gerade AB trifft die Gerade G im Centrum der Involution, denn 
es ist nach bekannten planimetrischen Sätzen OP, - OP; = OA-085 
= 07, 075, 
     
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
   
   
   
     
    
      
  
   
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
   
   
   
    
   
   
     
     
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