wird 
der beiden 
vom Central- 
liegen je zwei 
nicht. 
dort gegebene 
ineren Gesichts- 
ution zweiten 
usammenfallen). 
edes Paares auf 
sdukt OL OF 
stand eines aus 
m, so bestimmt 
n positiv, so 
‚Paare liegen 
ptotenpunkte 
, O das Centrum, 
chen Involution, 
WF OO 
OF, 
- P'Q. 
. folgt 
pr. FO, 
F «PO. 
F). 
PF FD. 
liner quadra- 
nisch zu den 
nvolution zu 
chen Involution 
len zugehörigen 
ebig gewählten 
| Paare PP 
nkte # (der im 
1 A anzusehen 
wolution, denn 
Lun Od OB 
   
Die quadratische Punkt- und Strahleninvolution. 61 
  
§ 7. 
Um nun zu einem Punkte P den zugehörigen zu bestimmen, construiren 
wir den Kreis PA; der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Geraden G ist der 
gesuchte Punkt P', denn es ist 
OF 0F = OP, -0F,. 
Construiren wir die beiden 
Kreise, welche durch À und D 
gehen und G berühren, so 
sind die Berührungspunkte die 
Asymptotenpunkte der Invo- 
lution; wir erhalten sie be- 
kanntlich, indem wir OF 
(= FO) als das geometrische 
Mittel aus O4 und OB con- 
struiren. 
6. Wir wollen nun unter- 
suchen, ob es in einer P uS PC A iis = Q 
Strahleninvolution Strah- E NC "2 DEE 
lenpaare | giebt, . deren 
Strahlen. auf einander 
senkrecht stehen. 
jestimmen sich die Winkel e, welche die Strahlen zweier Paare /V, und JV, 
mit einem festen Nullstrahle bilden, aus den beiden quadratischen Gleichungen 
  
  
(M. 384.) 
l. N, = a,tang?p + 2a,tango + az = 0, 
2. Ny, = bytang? © + 20, tango + by = 0, 
so erhält man bekanntlich (No. 2) die Winkel ¢ jedes Strahlenpaares durch ge- 
eignete Wahl der Zahlen 7, und 7, aus den Wurzeln der Gleichung 
3. N = rN; + 7, = 0. 
Soll diese Gleichung durch zwei auf einander senkrechte Strahlen erfüllt 
werden, so gilt, wenn ¢ und e' der Gleichung genügen, die Beziehung 
fang! -— tang (p + 90°) = — l:fange, oder 
4. tang ¢' - tango = — 1. 
Die Gleichung 3. lautet vollständig ausgeschrieben: 
N== (7,49 + 7,09) (ang, 9 + 2(r,a, +7,06) ang 9 + (7405 + 7209) = 0. 
Das Produkt ihrer Wurzeln ist (7,4, +79202) : (7,49 + 7209); dies soll nach 
4. gleich der negativen Einheit sein; daher hat man die Bedingungsgleichung: 
Fita roo = — ], aus welcher folgt: 
7,8, + 798, S 
74 (@ + 9) + 75 (69 +09) = 0. 
Da es nur auf das Verhältniss der Zahlen #,, 7, ankommt, so kann man setzen 
6. v12=0, by, Fam — (Ag + 42) 
Hieraus folgt: In jeder quadratischen Strahleninvolution giebt es 
ein und nur ein Paar auf einander senkrechte Strahlen; diese Strahlen 
werden als die Achsen der Involution bezeichnet. 
Eine Ausnahme tritt nur dann ein, wenn die Gleichung 5. identisch erfüllt 
ist, d. i. wenn 2, — — a,, 04 — — 59; dann sind die Strahlen der Paare Nb 
NV, sowie überhaupt die Strahlen jedes Paares auf einander senkrecht. 
Eine solche Strahleninvolution wird als Kreissystem bezeichnet. 
7. Die Gleichung, durch welche die Achsen bestimmt werden, ergiebt sich 
durch Einsetzung der Werthe 6. in /V — 0 zu: 
Cx