62 Analytische Geometrie. 
1. (agb, — azbo)tang? 9 + 2[a, (ba + 523) — 5, (ao + as) tango — (agb, —ayb,) = 0. 
Wählt man eine Achse zum Nullstrahl, so muss diese Gleichung die beiden 
Wurzeln haben Zang ¢ = 0 und Zang € = co; beides tritt ein, wenn 2,09 — 4,09 = 0. 
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man setzen a, =04,, 4$ — 0s. 
Dann werden die Gleichungen 1., 2. und 3. zu 
N, = ay lang? o + 2a, tango + a, = ©, 
N, = a, tang? ¢ + 20, tango + ay = 0, 
N = à, (74 + 72) fang? 9 + 2(a,7, 4- 06,73) fang 9 -- 45 (nb) = 0. 
Sind ange, fange' die Wurzeln der letzten Gleichung, so folgt: 
aly rr) 8 
ay (ry+7y) %w 
Hieraus folgt der Satz: Das Produkt der Tangenten der Winkel, 
welche je zwei Strahlen eines Paares einer quadratischen Strahlen- 
involution mit einer Achse bilden, 1st constant. 
Sind 4 und 4, die Achsen, und ist 4 die Nulllinie, so ist 
1. tang - tang ¢' == 
jang AT = tang (AA, + A, T) = tang (90° + 4,7) = — 1: fne eo. 
Setzt mand Z'— y, 4,7'— y, soist lange —1 :angq, tangg — —1: bere 
Dies in 1. eingesetzt, ergiebt: 
; a, 
lang - fang — —. 
do 
Die Produkte der Tangenten der Winkel, welche je zwei Strahlen 
eines Paares mit der einen und mit der andern Achse bilden, sind 
also reciprok. 
Ist 4, :4, positiv, so sind die Winkel e, ¢', sowie die Winkel v, J’ 
beide spitz oder beide stumpf; hieraus folgt, dass in diesem Falle die Strahlen 
jedes Paares durch dasselbe Scheitelwinkelpaar der Achsen gehen, oder dass die 
Strahlen jedes Paares durch die Achsen nicht getrennt werden; ist hingegen 
a, : a, negativ, so werden die Strahlen jedes Paares durch die beiden Achsen 
getrennt. 
8. Nur im ersteren Falle kann es reale Strahlenpaare geben, deren Strahlen 
zusammenfallen. Sie werden aus der Gleichung bestimmt: 
da 
fang? o = == 
0 
  
aus welcher zwei entgegengesetzt gleiche Werthe von q folgen. 
Strahlen, in welchen zwei Strahlen eines Paares zuzammenfallen, werden als 
Asymptoten der Involution bezeichnet. Wir haben daher den Satz: Die 
Asymptoten einer quadratischen Strahleninvolution liegen sym- 
metrisch zu den Achsen der Involution. 
Strahleninvolutionen und Punktinvolutionen heissen hyperbolisch oder 
elliptisch, je nachdem sie reale Asymptoten, bez. Asymptotenpunkte besitzen 
oder nicht. 
9. Legt man eine Gerade G normal zum Nullstrahle durch den Punkt Q 
desselben, und schneidet damit die Strahlen 7' und 7" in P und P', so ist bei 
geeigneter Wahl des positiven Sinnes von G: 
; QU ue OL 
uso m 2) NEY = ee, 
o T CQ i CQ 
Setzt man diese Werthe in die Gleichungen 7V, — 0, NV, =0, N=0 
ein und setzt CQ — y, O0OP=), QP'= N, so erhält man für die Punktpaare, 
in denen G von den Strahlenpaaren der Involution geschnitten wird, die Gleichungen: 
   
     
   
  
  
  
  
  
   
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
   
   
  
   
   
  
  
   
   
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
   
    
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