6X 4-9 K'i,
chliessen die
A Kl und
)eren dieses
für welche
wird, durch
ende Kreise
al erstreckt
les Parallelo-
der Summe
itegrale. |. In
nz und die
verschwindet
eiche Werthe
"mp .
£9 R
np, .
es x
cos amz =
e| Vo 22 YB 0m. yz
ipie pigeat
geradlinige Integral auszuwerthen
2K
nz |
f^ amse K' dg.
0
Wir integriren die unter dem Integralzeichen stehende
Function auf dem Perimeter OAZC, in dessen Ecken
= 0, 2K, 2K + 4K'/, AK';, und schliessen die
Punkte K'Z, 3K, 9K + K'i, 2K + 83K'Z, in welche
Aam unendlich gross wird, durch kleine Halbkreise
aus. Die Integrale {iber 48 und CO haben wieder die
Summe Null. In correspondirenden Punkten von O4
und CD hat Aa z gleiche Werthe, die Exponentialgrósse
nimmt den Faktor an
An A" à
CR uU
)
die beiden Integrale geben daher zusammen
(1— $74). fO A.
Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 771
n2
SE mL ER
16. Um Aamz in eine Fourirr'sche Reihe zu entwickeln, haben wir das
J
* (M. 574.)
Die vier Halbkreisintegrale kann man durch zwei Kreisintegrale um zX'
und 3ZA' ersetzen; wir substituiren in denselben
z — lK +p, bez = 8Z/Æ'+p, p =
und bemerken, dass
Nn, Lx
PL pri cos am
A am (1K' -- p)-e x B rait Lg
sin am p
E (30K + +p) „COS an p
Aam(3-iK' + p)-e
sin à am p
—A
—3u
re,
NT .
UO
3
E)
"up ;
e X
Für die beiden Kreisintegrale ergiebt sich, wenn man p unendlich klein nimmt,
9x (g7* bol q 9) ;
Daher ist
T
REL. PUB m
K Lg. K lg»?
dà 4. — 45, so ist
dy 7 Een == 0,
Un + qo, = : m t s go > .
Æ 149" 9 KR
Dies liefert schliesslich
A am z =
T 2x g TZ 7? 2zz 2?
3E UK f PR TR ta,
Diese FOURIER'schén Reihen für sin am z
3nz
QE eeu. 3.
, €o0$ am z und A am z gelten für alle
Werthe von z, welche innerhalb des Streifens liegen, der sich parallel der realen
Achse erstreckt und dessen Ränder durch die Punkte + zX' gehen. Jenseit
dieses Streifens wiederholen sich die Werthe der elliptischen Functionen, gemäss
ihrer complexen Periode, und zwar bei cos amz und Aamz mit V orzeichenwechsel;
die FOURIER’schen Reihen sind aber nur einfach periodisch und setzen sich jenseit
des Streifens mit andern Werthen fort, als die Functionen,
Punkte im Innern des Streifens übereinstimmen.
mit denen sie für
49*