S 19. Die Thetafunctionen. 773 
sich durch 
Durch diese Substitution erhält man aus der Reihe für sz az z*): ll 
se Anzahl | 
Sin am zZ cos am 3 
  
Jeispiele. TA = 
dol 2. 70. ol alti ol 
BK Er CE TSE TT Ton =F] 
aati ) ; { 8 19. Die Thetafunctionen. 
l. Die FouxER'schen Reihen für die elliptischen Functionen legen die Frage 
nahe, ob es nicht móglich sein wird, die Coefficienten a, einer Reihe 
co Qnnz . 
eme 3, 1 S = SS es en 
— 0 
  
  
so zu bestimmen, dass durch dieselbe eine Function, welche ausser der Periode 
o noch eine zweite Periode p. hat, für alle Werthe der Variabeln dargestellt wird. 
  
Ersetzt man z durch z + v, so erhält man 
m— . . . co _ 2ayx : _2nre ; 
SG-rube Que m 
— 0. 
Qurz 
Setzt man abkiirzungsweise ¢ © = ¢, so wird 
co m iM. 
S (z-- p) — Dag 6 9. 
yee 
Soll nun fiir alle Werthe von z die Gleichung bestehen 
| 2. SG +p) = SG), i 
so folgt ¢ = 1, mithin p = mw, wo m eine ganze Zahl ist. Durch die 1 
Gleichung 2. kommt man also über die Periode « nicht hinaus, und erkennt, 
dass durch eine Fourier’sche Reihe eine doppelt periodische Function nicht dar- 
gestellt werden kann. I 
Man kann nun versuchen, eine Reihe zu erhalten, die dem Charakter der B 
doppelten Periodicitit móglichst nahe kommt, in dem Sinne, dass beim Ueber- I E 
gange von z auf z 4 p die Reihe einen einfachen, von der Reihensumme nicht n 
unmittelbar abhängigen Faktor annimmt; wenn es dann gelünge, eine zweite, 
ähnliche Reihe zu construiren, die bei demselben Wachsthum von z auf z + p. 
denselben Faktor annimmt, wie die erste, so würde dann der Quotient beider 
rhält man Reihen sich nicht verändern, wenn z durch z 4- ersetzt wird. Wir gelangen 
so zu dem Gedanken, eine doppelt periodische Function durch den 
Quotienten zweier Reihen darzustellen. 
Die Forderung, dass bei der Substitution von z -- p. für z die Reihe 1. sich 
bis auf einen einfach angebbaren Faktor reproducirt, làsst sich erfüllen, wenn 
wir die Coefficienten @ der Bedingung unterwerfen 
  
hen, so ist 
  
  
§ 3. Q4Q "7 — V* Qn—1, 
Wobei 1 eine noch unbestimmte Constante ist. Denn unter dieser Bedingung ist 
2nz . 
SC Ha) = 1:6 5. SS). 
Wir dürfen einen Coefficienten beliebig wühlen; es sei e, = 1; alsdann 
folgt aus 3. 
  
  
= = wt 30 
Qi = 19, 8; = 120% da, = 1390, 
n(n+1) 
reed 7 Tye 
Gu == 9 
*) Weitere Entwicklungen dieser Art und einen Uebergang von FoumrER'schen Reihen auf 
unendliche Produkte siehe ScHLOEMILCH, Compendium Bd. 2. Abschn. Ellipt. Funct.