S 19. Die Thetafunctionen. 775
2. Rechnet man je zwei Glieder der Thetafunctionen zusammen, die zu ent-
gegengesetzt gleichen z gehóren, so erhült man die Reihen in folgender Gestalt
fle) = 1— 2e 9e coshz + ..,
$10) = 2 ye sinz — 93/29» sinà3z -- 2 Veo sinbs —...,
9,(z) = 2 Ve-?cosz 4- 2 ye cos8z -- 2 Ve—o cos5z +...,
8,(0) = 1-r-2e-?eos9 z -- 2e-to cos 4s — Qe cosbz +...
Hieraus erkennt man die Beziehungen
$()—9ds—s, 9G -—8hüsz—»,
von s auf x 9,0) = 9,(Gx—_5, *G-9üx—2.
Bezeichnet z; eine ganze Zahl, so ist
: 9 (z 4- mx) — 9(z), 95(z -- mu) = (— 1)7 9,6),
2 9, + mm) = (—1)#8, (3), B30 + mm) — 94(2).
Ersetzen wir in No. 1, 8 die Variable ch z+ Lip, so folgt
8 (3 + bip) = iet?-*4, (2),
9, (3 + Lip) = ielP-*9 (2),
: D, + big) = ebr==9,(s),
3,8 + bip) m d).
Ersetzen wir hier wieder z durch z + 4zp, so entsteht
3 (5+ ip) = — e253 (3),
5 300+ ip) = — A),
> 8,(3 + ip) = er 29, (2),
$9, (z+ ip) = e-2=9,(2).
Wenn man diese Substitution mehrmals wiederholt, und dann noch 2 — 2 -m,p
für z setzt, so erhült man für jede ganze Zahl m,
8 (z--m,- ip) = (— 1% em{p-2im,2 | (2),
B. (a + my dp) m (— Dente. (9),
8. 92 (2 + my - ip) = eno meg, (e),
aote mio) om em).
Aus 3. und 6. folgt noch
9 (z + mt + mM, ig — (— 1^ gina o,
7 8, (3 + mr + m, d2 = (— ly" m $5 1).
: 99 (3 + mw + my - ip) = (— 1)” mio mss OG,
l 7. geführt 8.(z + mn + my dp) — itin, *8s(2).
durch — p; Aus diesen Gleichungen erkennt man sofort, dass der Quotient je zweier
'Thetafunctionen doppelt periodisch ist; die Perioden ‘sind von der Form
den Namen mx + n-ip, Wobei z; und z gleich 0, 1 oder 2 sind.
3. Die Multiplication der beiden Functionen
Medo ee, gue omnim
ergiebt die Doppelsumme
95(2) - 94 (0) = XXe "topo PO ea
Für den Exponenten von e kann man schreiben
— 9 o[X(n + m)? 4- (n — m?) — 2i[4(n + m) (z + 9) + 40 — m)(s — CJ.
haben diese Die Zahlen z + m und » — m sind gleichzeitig gerade oder ungerade;
Zeic > tor is
z zugleich bezeichnen a und ? ganze Zahlen, so 1st also
n+ m= 2a, und zugleich » — m = 26,
oder # + m — 23 +1, , 2 Ho — m9 -r 1.
tionen ent-
Durchlaufen a und 2 alle positiven und negativen ganzen Zahlen, so erhalten
hang dieser ;
n + m und z — m alle möglichen Werthe.
