2], 
36-9, 
2—6239 
chtet No. 4 
und No. 2, 6 
» 
- $ 2p). 
bt sich noch 
2 (z —1, 2p). 
1 9,(25, 20) 
it man 
9 
))? 
€ 9 
- -.(2)? 
))? 94] 
2 + 8, (0). 
> 0 folgt 
chen wird 
a“ ve 
$ 19. Die Thetafunctionen. 277 
9. &.9 (2? —  8.(? + #9,()?, 
10. &.9,0)? = #9,(2)? + 8,002. 
Wir setzen hierin z — 0 und beachten, dass 9 ,(0) = 0; dadurch erhalten 
wir für & und Z' die einfacheren Ausdrücke 
© e [uS e eo 
9, (0)] ’ 8. (0) 
4. In No. 3, 4 ersetzen wir z durch z + 44, 5 durch 47, p durch 4p; dadurch 
entsteht 
Baz ac 0-9.) — SG -- 2-9.) = 9.6 -- 44 39 - 9 4e). 
Hieraus i ot 
l[hG--2) Bye) eei do ean 
/ rs (z +) 9.0) 74 (3 + 2) 8,5) ¢ t 
Aus dieser Gleichung gelangen wir zur Kenntniss des Differentialquotienten 
von 05(2):94(2, indem wir zur Grenze für ein verschwindendes / übergehen. 
Setzen wir 
  
  
  
lim 94 (14 $0 2e) m 
  
  
  
— a, 
. . £—0 
so ergiebt sich 
p 85(z) 
€ 
NO b 3p) 
— — — x WELL > 
> 3, (2)? 
Um rechts die Function #, (3, 1p) zu beseitigen, beachten wir, dass aus 
No. 2, 3 folgt, wenn wir z durch $ÿr — 3, { durch 0 und p durch Lp ersetzen, 
0; (5 $9) 95 (0, $9) — 29,(2) 8(2). 
Setzen wir 
3 2a 
9, N 
: Va (0, $p) 
so erhalten wir 
Bo(z) 
s à HOME 
dz | 950 2)? 
Wir substituiren hier in z für z und erhalten so 
  
  
sh 
4. TE ny 
dz "I 9 (2)? 
9. Die soeben gewonnenen Differentialformeln setzen uns in den Stand, die 
Quotienten zweier Thetafunctionen mit bestimmten Integralen in Beziehung zu 
bringen. Wir definiren drei neue Functionen /(z), £(3), A(z) durch die Gleichungen 
V4 (3) Da) Ua(s) 
Qm ui n= 
Zufolge No. 3, 10 bestehen zwischen diesen Functionen die beiden Gleichungen 
; FOF + Hg — 4, 
2. Ef)? -- g(z)? — &-A(z)?. 
Ferner ist 
  
9 20)? sl 
> ‘zip "TE 
Die Gleichungen 1. und 2. ergeben 
k 1 
4. s@ = pli — son], 
1: $ 
J. A (z)? = à (1 — À « f(2)?] . 
  
     
     
        
   
     
     
   
  
    
   
    
    
    
      
   
   
  
   
     
     
    
   
       
     
  
  
      
   
   
    
   
1 
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