S 19. Die Thetafunctionen. 779 
8,2) _ 8, Gr — Lip) 
$6) ^ $ür— p 
Dieser Gleichung genügen die Werthe 
  
: z=4%n — Lip + 2nn + m - ip; 
folglich ist 
1 
  
  
y 
9K de 
| il. da d T 9 2 ; > 
= oberen — (dn bío--ÓOsz--m-ip) = ire 
re Ueberein m J v0 =H — #20) 
. . . 0 . 
Nimmt man rechts das geradlinige Integral, so hat man bekanntlich 
1 
1 
f = K + iK' 
Te + 2 
J yüa— d) — 220) 
0 zusammen : 
Man hat daher z — 0, und, wenn p positiv vorausgesetzt wird, = 1 
zu nehmen. Hieraus folgt 
2K P ZO 
— (an -- dip) — K -rzK!, 
also ist 
K' 
PET x 
Aus den ersten beiden Gleichungen No. 2, 7 folgt, dass 
] Sw) 
1 
E yi^ (w) = VE) 
sich nicht ándert, wenn zv um 27x -- :, - ip zunimmt, wobei x und x, beliebige 
ganze Zahlen sind; in Rücksicht auf den soeben gefundenen Werth von p wüchst 
estimmt sich 
  
dabei 
'kennt, wenn 2K s ; 
2 —-w um z-4K--m,-2iK. 
«X 
positiv; das- In gleicher Weise vieldeutig ist bei gegebenem £ bekanntlich die rechte 
JU: 3:5 56m ; i . m m $T : 2 
, 4). Damit Seite der Gleichung 10.; diese Gleichung ist daher umfassend gültig, sie enthält 
pt), Le : p i ; ; ee 
zunehmende links und rechts Grössen, die dieselben beiden Periodicitätsmoduln haben. Aus 
1 entspricht. 10. folgt nun ; SA 
rgl. No. 2, 7) C ume sinam —, 
ys x 
also ist 
; 2K ] 53,1) 
sin am — w = —= + a. 
x VR 8 (zv) 
Ersetzt man hier zw durch zw: 2, so ergiebt sich 
a {7% 
jo S uu 
  
Hama = =r xp. 
% TW 
V a 
( 2K 
Aus den Gleichungen 4. und 5. folgt 
2 Kw 2! 
392 2 573422 — en 2 
pec n uem gw)? , 
2 Kw 
] — A?sin?am — = Aw, 
iL 
also, wenn man auch hier w durch zw : 2X ersetzt 
; E x) 
PERCICE 
13. R . 
cos am uw — "Er